Question

（2013•韶關二模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

a2-1

=1（a＞1）的左右焦點為F₁，F₂，拋物線C：y²=2px以F₂為焦點．
（1）求拋物線C的標準方程；
（2）設A、B是拋物線C上兩動點，過點M（1，2）的直線MA，MB與y軸交于點P、Q．△MPQ是以MP、MQ為腰的等腰三角形，探究直線AB的斜率是否為定值？若是求出這個定值，若不是說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的標準方程及c²=a²-b²即可得到c，即可求出p，進而得到拋物線C的方程；
（2）直線AB的斜率為定值-1．證法一：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由M（1，2），A、B在拋物線y²=4x上，代入拋物線的方程，可用坐標表示直線MA，MB的斜率，由△MPQ是以MP，MQ為腰的等腰三角形，可得k_MA=-k_MB，即可證明直線AB的斜率為定值；
證法二：設A(

y12

4

 ， y1)，B(

y22

4

 ， y2)，則kAM=

y1-2

y12 4 -1

=

4

y1+2

，kBM=

4

y2+2

，由△MPQ是以MP，MQ為腰的等腰三角形，可得k_MA=-k_MB，以下同上．

解答：解：（1）由橢圓方程得半焦距c=

a2-(a2-1)

=1，
∴橢圓焦點為F₁（-1，0），F₂（1，0）．
又拋物線C的焦點為(

p

2

，0)，∴

p

2

=1，解得p=2，∴拋物線C的標準方程為：y²=4x．
（2）直線AB的斜率為定值-1．
證明如下：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∵M（1，2），A、B在拋物線y²=4x上，∴

y 2 1 =4x1  ① y 2 2 =4x2  ② 22=4×1  ③

由①-③得，kMA=

y1-2

x1-1

=

4

y1+2

   ④
由②-③得，kMB=

y2-2

x2-1

=

4

y2+2

   ⑤
∵△MPQ是以MP，MQ為腰的等腰三角形，∴k_MA=-k_MB
由k_MA=-k_MB得

y1-2 x1-1 =- 4 y2+2 y2-2 x2-1 =- 4 y1+2

化簡整理，
得

y1y2-2y2+2y1-4=-4x1+4 y1y2-2y1+2y2-4=-4x2+4

上兩式相減得：4（y₁-y₂）=-4（x₁-x₂），∴k=

y1-y2

x1-x2

=

-4

4

=-1為定值．
解法二：設A(

y12

4

 ， y1)，B(

y22

4

 ， y2)，
則kAM=

y1-2

y12 4 -1

=

4

y1+2

，kBM=

4

y2+2

，
∵△MPQ是以MP，MQ為腰的等腰三角形，∴k_MA=-k_MB
即

4

y1+2

+

4

y2+2

=0
∴

y1+y2+4

(y1+2)(y2+2)

=0
由y₁+y₂+4=0得 y₁+y₂=-4．
∴kAB=

y2-y1

y22 4 - y12 4

=

4(y2-y1)

y22-y12

=

4

y1+y2

=

4

-4

=-1．
∴直線AB的斜率為定值-1．

點評：熟練掌握橢圓、拋物線的標準方程及其性質、直線與圓錐曲線相交問題、直線的斜率計算公式、等腰三角形的性質等是解題的關鍵．