Question

18．已知函數(shù)f（x）=lnx，x∈（1，+∞）的圖象在點(diǎn)（x₀，lnx₀）處的切線為l，若l與函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2}$x²的圖象相切，則x₀必滿足（　�。�
（ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）

• A． 1＜x₀＜$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$＜x₀＜2
• C． 2＜x₀＜3
• D． 3＜x₀＜4

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）=lnx的導(dǎo)數(shù)，g（x）=$\frac{1}{2}$x²的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，切線的方程，可得$\frac{1}{{x}_{0}}=m$，$-\frac{1}{2}{m}^{2}$=lnx₀-1，再由零點(diǎn)存在定理，即可得到所求x₀范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$，
在點(diǎn)（x₀，lnx₀）處的切線的斜率為k=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
切線方程為y-lnx₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x-x₀）（x₀＞1），
設(shè)切線與g（x）=$\frac{1}{2}$x²相切的切點(diǎn)為（m，$\frac{1}{2}{m}^{2}$），
即有g(shù)（x）=$\frac{1}{2}$x²的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=x，
可得$\frac{1}{{x}_{0}}=m$，切線方程為y-$\frac{1}{2}{m}^{2}$=m（x-m），
令x=0，可得y=$-\frac{1}{2}{m}^{2}$=lnx₀-1，
由m=$\frac{1}{{x}_{0}}$，可得$\frac{1}{2{{x}_{0}}^{2}}$+lnx₀-1=0，
令f（x）=$\frac{1}{2x}+lnx-1$，x＞1，
f′（x）=$\frac{-1+2x}{2{x}^{2}}$＞0，f（x）在x＞1遞增，
且f（2）=$\frac{1}{4}$+ln2-1＜0，f（3）=$\frac{1}{6}$+ln3-1＞0，
則有$\frac{1}{2{{x}_{0}}^{2}}$+lnx₀-1=0的根x₀∈（2，3）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，以及函數(shù)零點(diǎn)存在定理的運(yùn)用，屬于中檔題．