Question

【題目】如圖，在直四棱柱中，，，，，分別為的中點(diǎn)，

（1）證明：平面.

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）連接，，利用三角形的中位線性質(zhì)可得，再利用線面平行的判定定理即可證出.

（2）在平面中，過(guò)點(diǎn)作，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積，由即可求解.

解：（1）連接，，易知側(cè)面為矩形，

為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).

為的中點(diǎn)，

平面，平面

平面

（2）在平面中，過(guò)點(diǎn)作，易知平面，

故以為原點(diǎn)，分別以所在直

線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，

則，，

， ，

，，

設(shè)平面的法向量為，

由 即 ， 解得

令 得，所以

所以直線與平面所成角的正弦值為.