Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x+m）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，|f（x）|＜4恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),函數(shù)恒成立問題,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)向量的運(yùn)算法則求出f（x）并化簡(jiǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分段討論x∈[0，

π

2

]時(shí)，|f（x）|＜4恒成立，解不等式組即可確定實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=

a

•

b

=2cos²x+

3

sin2x+m
=cos2x+

3

sin2x+m+1=2sin（2x+

π

6

）+m+1
∴f（x）的最小正周期T=π，
在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，

π

6

]，[

2π

3

，π]．
（2）∵x∈[0，

π

6

]時(shí)，f（x）遞增，當(dāng)x∈[

π

6

，

π

2

]時(shí)，f（x）遞減，
∴當(dāng)x=

π

6

時(shí)，f（x）的最大值等于m+3，
當(dāng)x=

π

2

時(shí)，f（x）的最小值等于m，
由題設(shè)知

m+3＜4 m＞-4

解之得，-4＜m＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．