已知橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，雙曲線－＝1的兩條漸近線為l1、l2，過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l，使l⊥l1.又l與l2交于P點(diǎn)，設(shè)l與橢圓C的兩個交點(diǎn)由上至下依次為A、B(如圖)．

(1) 當(dāng)l1與l2夾角為60°，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程；

(2) 當(dāng)＝λ，求λ的最大值．


解：(1) ∵雙曲線的漸近線為y＝±x，

兩漸近線夾角為60°，又<1，

∴∠POx＝30°，

即＝tan30°＝.

∴a＝b.

又a2＋b2＝4，∴a2＝3，b2＝1.

故橢圓C的方程為＋y2＝1.

(2) 由已知l：y＝(x－c)，與y＝x解得P.

由＝λ，得A.

將A點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，

得(c2＋λa2)2＋λ2a4＝(1＋λ)2a2c2.

∴(e2＋λ)2＋λ2＝e2(1＋λ)2.

∴λ2＝＋3≤3－2.

∴λ的最大值為－1.


練習(xí)冊系列答案
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已知sin＝，那么cosα＝________．

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如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C：(x＋1)2＋y2＝16，點(diǎn)F(1，0)，E是圓C上的一個動點(diǎn)，EF的垂直平分線PQ與CE交于點(diǎn)B，與EF交于點(diǎn)D.

(1) 求點(diǎn)B的軌跡方程；

(2) 當(dāng)點(diǎn)D位于y軸的正半軸上時，求直線PQ的方程；

(3) 若G是圓C上的另一個動點(diǎn)，且滿足FG⊥FE，記線段EG的中點(diǎn)為M，試判斷線段OM的長度是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

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已知橢圓＋y2＝1的左頂點(diǎn)為A，過A作兩條互相垂直的弦AM、AN交橢圓于M、N兩點(diǎn)．

(1) 當(dāng)直線AM的斜率為1時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2) 當(dāng)直線AM的斜率變化時，直線MN是否過x軸上的一定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請給出證明，并求出該定點(diǎn)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．

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 已知橢圓E：＋y2＝1(a＞1)的上頂點(diǎn)為M(0，1)，兩條過M的動弦MA、MB滿足MA⊥MB.

(1) 當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)到橢圓E的準(zhǔn)線距離最短時，求橢圓E的方程；

(2) 若Rt△MAB面積的最大值為，求a；

(3) 對于給定的實(shí)數(shù)a(a＞1)，動直線AB是否經(jīng)過一定點(diǎn)？如果經(jīng)過，求出定點(diǎn)坐標(biāo)(用a表示)；反之，說明理由．

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拋物線y2＝4x上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x＝________．

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拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線方程為x＝－2，該拋物線上的每個點(diǎn)到準(zhǔn)線x＝－2的距離都與到定點(diǎn)N的距離相等，圓N是以N為圓心，同時與直線l1：y＝x和l2：y＝－x 相切的圓，

(1) 求定點(diǎn)N的坐標(biāo)；

(2) 是否存在一條直線l同時滿足下列條件：

① l分別與直線l1和l2交于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)為E(4，1)；

② l被圓N截得的弦長為2.

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方程＝1表示橢圓，則k的取值范圍是________.

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若雙曲線－y2＝1的一個焦點(diǎn)為(2，0)，則它的離心率為________．

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