已知橢圓E：＋y2＝1(a＞1)的上頂點為M(0，1)，兩條過M的動弦MA、MB滿足MA⊥MB.

(1) 當坐標原點到橢圓E的準線距離最短時，求橢圓E的方程；

(2) 若Rt△MAB面積的最大值為，求a；

(3) 對于給定的實數(shù)a(a＞1)，動直線AB是否經(jīng)過一定點？如果經(jīng)過，求出定點坐標(用a表示)；反之，說明理由．


解：(1) 由題，a2＝c2＋1，d＝≥2，當c＝1時取等號，此時a2＝1＋1＝2，故橢圓E的方程為＋y2＝1.

(2) 不妨設(shè)直線MA的斜率k>0，直線MA方程為y＝kx＋1，由

① 代入②整理得(a2k2＋1)x2＋2a2kx＝0，

由MA⊥MB知直線MB的斜率為－，

.

當t＝時取“＝”，∵  t＝≥2，得a>＋1.而(S△MAB)max＝＝，故a＝3或a＝ (舍)．綜上a＝3.

(3) 由對稱性，若存在定點，則必在y軸上．

當k＝1時，A，直線AB過定點Q.下面證明A、Q、B三點共線：

由kAQ＝kBQ知A、Q、B三點共線，即直線AB過定點Q.


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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


 已知關(guān)于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的兩根為sinθ和cosθ，且θ∈(0，2π)．

(1) 求的值；

(2) 求m的值；

(3) 求方程的兩根及此時θ的值．

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如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓＋＝1的左、右頂點為A、B，右焦點為F.設(shè)過點T(t，m)的直線TA、TB與橢圓分別交于點M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0.

(1) 設(shè)動點P滿足PF2－PB2＝4，求點P的軌跡；

(2) 設(shè)x1＝2，x2＝，求點T的坐標；

(3) 設(shè)t＝9，求證：直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與m無關(guān))．

 

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　如圖，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點到點P(2，1)的距離為.不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．

(1) 求橢圓C的方程；

(2) 求△ABP面積取最大值時直線l的方程．

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在平面直角坐標系xOy中，已知定點A(－4，0)、B(4，0)，動點P與A、B連線的斜率之積為－.

(1) 求點P的軌跡方程；

(2) 設(shè)點P的軌跡與y軸負半軸交于點C.半徑為r的圓M的圓心M在線段AC的垂直平分線上，且在y軸右側(cè)，圓M被y軸截得的弦長為r.

(ⅰ) 求圓M的方程；

(ⅱ) 當r變化時，是否存在定直線l與動圓M均相切？如果存在，求出定直線l的方程；如果不存在，說明理由．

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已知橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，雙曲線－＝1的兩條漸近線為l1、l2，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l1.又l與l2交于P點，設(shè)l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A、B(如圖)．

(1) 當l1與l2夾角為60°，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程；

(2) 當＝λ，求λ的最大值．

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拋物線y2＝8x的焦點到準線的距離是________．

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求滿足下列條件的拋物線的標準方程，并求對應(yīng)拋物線的準線方程．

(1) 過點(－3，2)；

(2) 焦點在直線x－2y－4＝0上．

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 已知橢圓C：＝1(a>b>0)經(jīng)過點M(－2，－1)，離心率為.過點M作傾斜角互補的兩條直線分別與橢圓C交于異于M的另外兩點P、Q.

(1) 求橢圓C的方程；

(2) 試判斷直線PQ的斜率是否為定值，證明你的結(jié)論．

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