10.函數(shù)f(x)=ax3+bx2-3x 在點(diǎn)x=1 處取得極大值為2.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)f(1)=2,f′(1)=0,求出a,b的值,從而求出f(x)的解析式即可;
(2)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的最值即可.

解答 解:(1)求導(dǎo) f'(x)=3ax2+2bx-3,
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{a+b-3=2}\\{3a+2b-3=0}\end{array}\right.$,解得:$\left\{\begin{array}{l}{a=-7}\\{b=12}\end{array}\right.$,
所以f(x)=-7x3+12x2-3x;
(2)f'(x)=-21x2+24x-3=-3(x-1)(7x-1),
列表如下:

x 0(0,$\frac{1}{7}$)$\frac{1}{7}$ ($\frac{1}{7}$,1)1(1,2)2
f'(x) -0+0+
f(x) 0極小值極大值-14
因?yàn)閒(0)=0,$f(\frac{1}{7})=-\frac{10}{49}$,f(1)=2,f(2)=-14,
所以當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)max=2,f(x)min=-14.

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的意義,考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,是一道中檔題.

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為使一年的種植總利潤(總利潤=總銷售收入-總種植成本)最大,那么黃瓜與冬瓜的種植面積(單位:畝)分別為( 。
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