Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1.

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若直線l：與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點。求證: 直線l過定點，并求出該定點的坐標(biāo).

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（Ⅱ）直線l過定點，定點坐標(biāo)為

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因為橢圓C上的點到焦點距離的最大值為，最小值為.在橢圓中，可求，再根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為求得.

（Ⅱ）聯(lián)立直線l與橢圓方程得的一元二次方程，因為以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D（2，0），所以,故,可得的關(guān)系式，再由點斜式的直線方程寫出直線l過定點，注意檢驗.

試題解析：（Ⅰ）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

由已知得：

（Ⅱ）設(shè)，聯(lián)立

得，則

又，

因為以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D（2，0），

當(dāng)，直線過定點（2，0），與已知矛盾；

當(dāng)

所以，直線l過定點，定點坐標(biāo)為

考點：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線與橢圓的位置關(guān)系；3、韋達定理；4、直線的點斜式方程；5、點與圓的位置關(guān)系.