數(shù)列、的每一項(xiàng)都是正數(shù),,,且、、成等差數(shù)列,、、成等比數(shù)列,.
(Ⅰ)求、的值;
(Ⅱ)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)證明:對一切正整數(shù),有.
(Ⅰ);(Ⅱ),;(Ⅲ)答案詳見解析.
解析試題分析:(Ⅰ)依題意,,,并結(jié)合已知,,利用賦值法可求、的值;(Ⅱ)由①,②,且,則,(),代入①中,得關(guān)于的遞推公式,故可判斷數(shù)列是等差數(shù)列,從而可求出,代入()中,求出(),再檢驗(yàn)時,是否滿足,從而求出;(Ⅲ)和式相當(dāng)于數(shù)列的前項(xiàng)和,先確定其通項(xiàng)公式,根據(jù)通項(xiàng)公式的不同形式,選擇相應(yīng)的求和方法,先求得,不易求和,故可考慮放縮法,將其轉(zhuǎn)化為容易求和的形式,再證明和小于.
試題解析:(Ⅰ)由,可得,由,可得.
(Ⅱ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/fd/7/1ch1o3.png" style="vertical-align:middle;" />、、成等差數(shù)列,所以…①.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6c/3/1z7lr4.png" style="vertical-align:middle;" />、、成等比數(shù)列,所以,因?yàn)閿?shù)列、的每一項(xiàng)都是正數(shù),所以…②.于是當(dāng)時,…③.將②、③代入①式,可得,因此數(shù)列是首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列,所以,于是.由③式,可得當(dāng)時,.當(dāng)時,,滿足該式子,所以對一切正整數(shù),都有.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,所證明的不等式為.
方法一:首先證明().
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a5/05/a560596ea40ecc901e8b0b0d652e44ef.png" style="vertical-align:middle;" />
,
所以當(dāng)時,.
當(dāng)時,.
綜上所述,對一切正整數(shù),有
方法二:.
當(dāng)時,
.
當(dāng)時,;當(dāng)時,.
綜上所述,對一切正整數(shù),有
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列(常數(shù)),其前項(xiàng)和為 ()
(1)求數(shù)列的首項(xiàng),并判斷是否為等差數(shù)列,若是求其通項(xiàng)公式,不是,說明理由;
(2)令的前n項(xiàng)和,求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù),且對任意n∈N*,都有+…+=,記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=3n+(-1)n-1λ·2an(λ為非零常數(shù),n∈N*),問是否存在整數(shù)λ,使得對任意n∈N*,都有bn+1>bn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足且恰好是等比數(shù)列的前三項(xiàng).
(Ⅰ)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)記數(shù)列的前項(xiàng)和為,若對任意的,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在ABC中,三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為,且A,B,C成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,求證ABC為等邊三角形.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知集合,對于數(shù)列中.
(Ⅰ)若三項(xiàng)數(shù)列滿足,則這樣的數(shù)列有多少個?
(Ⅱ)若各項(xiàng)非零數(shù)列和新數(shù)列滿足首項(xiàng),(),且末項(xiàng),記數(shù)列的前項(xiàng)和為,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列,滿足,,
(1)已知,求數(shù)列所滿足的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(3)己知,設(shè)=,常數(shù),若數(shù)列是等差數(shù)列,記,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,對任意都有成立, (其中、、是常數(shù)).
(1)當(dāng),,時,求;
(2)當(dāng),,時,
①若,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
②設(shè)數(shù)列中任意(不同)兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng),則稱該數(shù)列是“數(shù)列”.
如果,試問:是否存在數(shù)列為“數(shù)列”,使得對任意,都有
,且.若存在,求數(shù)列的首項(xiàng)的所
有取值構(gòu)成的集合;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)求證:.
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