Question

【題目】已知函數(shù).

（1）證明函數(shù)在上是減函數(shù)，上是增函數(shù)；

（2）若方程有且只有一個實(shí)數(shù)根，判斷函數(shù)的奇偶性；

（3）在（2）的條件下探求方程的根的個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）證明詳見解析；（2）為偶函數(shù)；（3）時只有一解，時有兩解.

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性定義進(jìn)行證明，設(shè)的上任意兩個不等的實(shí)數(shù)，且，則，

，由于，所以，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，同理可證在區(qū)間單調(diào)遞增；（2）方程等價于方程有且只有一個實(shí)數(shù)根，則，因?yàn)?/span>，所以，則此時函數(shù)，，易證明函數(shù)為奇函數(shù)；（3）在（2）的條件下，即，根據(jù)第（2）證明所得的單調(diào)性可知，當(dāng) 即時只有一解 ，當(dāng) 即時有兩解.

試題解析：（1）由題意： 任取且使

則

在上是減函數(shù)

同理可證 在 上是增函數(shù)

（2）由題意知方程有且只有一個實(shí)數(shù)根

又

此時，

又的定義域?yàn)?/span>關(guān)于原點(diǎn)對稱，

且，

是奇函數(shù)

（3）由（2）知可化為

又由（1）（2）知：

當(dāng) 即時只有一解

當(dāng) 即時有兩解

綜上，當(dāng)時只有一解；

當(dāng)時有兩解；