Question

如圖，橢圓的長軸A₁A₂與x軸平行，短軸B₁B₂在y軸上，中心為M（0，r）（b＞r＞0）．
（1）寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點坐標(biāo)及離心率．
（2）直線y=k₁x交橢圓于兩點C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）（y₂＞0）；直線y=k₂x交橢圓于兩點G（x₃，y₃），H（x₄，y₄）（y₄＞0）．
求證：=．
（3）對于（2）中的C、D、G、H，設(shè)CH交x軸于點P，GD交x軸于點Q．
求證：|OP|=|OQ|．
（證明過程不考慮CH或GD垂直于x軸的情形）

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖可知橢圓的頂點坐標(biāo)，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可分別得出橢圓的長半軸和短半軸，進(jìn)而得到橢圓的方程．再根據(jù)橢圓中a，b，c的關(guān)系求得c，進(jìn)而可得橢圓的焦點和離心率．
（2）將直線CD的方程y=k₁x代入橢圓方程，整理后根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁x₂的值，兩式相除可得=，同理可得=，整理后進(jìn)而可得=．
（3）設(shè)點P（p，0），點Q（q，0），根據(jù)C，P，H共線，得=，求得p；同樣的方法求得q，由=變形后即可證明所以|p|=|q|，原式得證．
解答：解：（1）如圖可知橢圓的方程為
焦點坐標(biāo)為F1（，r），F(xiàn)2（，r）
離心率e=
（2）將直線CD的方程y=k₁x代入橢圓方程，
得b²x²+a²（k₁x-r）²=a²b²，
整理得（b²+a²k₁²）x₂-2k¹a²rx+（a²r²-a²b²）=0．
根據(jù)韋達(dá)定理，得 x₁+x₂=
x₁x₂=
所以=①
將直線GH的方程y=k₂x代入橢圓方程，同理可得
=②
由①，②得==所以結(jié)論成立．

（3）設(shè)點P（p，0），點Q（q，0）．
由C，P，H共線，得=
解得p=
由D，Q，G共線，同理可得q=
由=變形得
-=
即-=
所以|p|=|q|，
即|OP|=|OQ|．
點評：本題主要考查了橢圓的方程和直線與橢圓的關(guān)系．考查了學(xué)生分析問題和綜合運用知識的能力．是高考題出題的常用模式．