Question

4．設(shè)a、b、c成等比數(shù)列，非零實(shí)數(shù)x，y分別是a與b，b與c的等差中項(xiàng)．
（1）已知 ①a=1、b=2、c=4，試計(jì)算$\frac{a}{x}+\frac{c}{y}$的值；
②a=-1、b=$\frac{1}{3}$、c=-$\frac{1}{9}$，試計(jì)算$\frac{a}{x}+\frac{c}{y}$的值
（2）試推測$\frac{a}{x}+\frac{c}{y}$與2的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列和等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，可得b²=ac，x=$\frac{a+b}{2}$，y=$\frac{b+c}{2}$，代入a，b，c可得x，y，計(jì)算即可得到①②的值；
（2）推測$\frac{a}{x}+\frac{c}{y}$=2．運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，通分化簡，運(yùn)用因式分解，注意運(yùn)用ac=b²，即可得證．

解答 解：（1）①a、b、c成等比數(shù)列，
非零實(shí)數(shù)x，y分別是a與b，b與c的等差中項(xiàng)．
可得b²=ac，x=$\frac{a+b}{2}$，y=$\frac{b+c}{2}$，
由a=1、b=2、c=4，
可得x=$\frac{3}{2}$，y=3，
即有$\frac{a}{x}+\frac{c}{y}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{4}{3}$=2；
②由a=-1、b=$\frac{1}{3}$、c=-$\frac{1}{9}$，
可得x=$-\frac{1}{3}$，y=$\frac{1}{9}$，
∴$\frac{a}{x}+\frac{c}{y}$=3-1=2；
（2）由（1）推測$\frac{a}{x}+\frac{c}{y}$=2．
證明：∵a、b、c成等比數(shù)列，∴b²=ac，
∵實(shí)數(shù)x，y分別是a與b，b與c的等差中項(xiàng)．
∴x=$\frac{a+b}{2}$，y=$\frac{b+c}{2}$
∴$\frac{a}{x}+\frac{c}{y}$=$\frac{2a}{a+b}+\frac{2c}{b+c}=\frac{2a（b+c）+2c（a+b）}{（a+b）（b+c）}$
=$\frac{2（ab+ac）+2c（a+b）}{（a+b）（b+c）}=\frac{{2（ab+{b^2}）+2c（a+b）}}{（a+b）（b+c）}$
=$\frac{2b（a+b）+2c（a+b）}{（a+b）（b+c）}=\frac{2（a+b）（b+c）}{（a+b）（b+c）}=2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，以及化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．