Question

1．如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，
∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)．
（1）證明：異面直線AE與PD所的角；
（2）若PD與平面ABCD所成角為45°，求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AE⊥BC，AE⊥AD，PA⊥AE，從而AE⊥平面PAD，由此能證明AE⊥PD．
（2）法一（幾何法）：設(shè)AB=2，過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC，過O作OS⊥AF于S，連接ES，則∠ESO為二面角E-AF-C的平面角，由此能求出二面角E-AF-C的余弦值．
法二（向量法）：設(shè)AB=2，由AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角E-AF-C的余弦值．

解答 證明：（1）由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，
可得△ABC為正三角形．因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC．
又BC∥AD，因此AE⊥AD．
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD，且PA∩AD=A，
所以AE⊥平面PAD．又PD?平面PAD，
所以AE⊥PD．…（6分）
解：（2）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PD與底面ABCD所成的角為∠PDA，
因?yàn)椤螾DA=45°，所以PA=AD．…（9分）
解法一：設(shè)AB=2，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，PA?平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABCD．過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC，
過O作OS⊥AF于S，連接ES，則∠ESO為二面角E-AF-C的平面角，
在Rt△AOE中，EO=AEsin30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AO=AEcos30°=$\frac{3}{2}$，
又F是PC的中點(diǎn)，在Rt△ASO中，$SO=AO•sin{45°}=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$，
又SE=$\sqrt{E{O}^{2}+S{O}^{2}}$=$\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{9}{8}}$=$\frac{\sqrt{30}}{4}$，
在Rt△ESO中，cos∠ESO=$\frac{SO}{SE}=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{30}}{4}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
即所求二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．…（12分）
解法二：設(shè)AB=2，由（Ⅰ）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
又E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點(diǎn)，
所以A（0，0，0），B（$\sqrt{3}，-1，0$），C（$\sqrt{3}，1，0$），D（0，2，0），P（0，0，2），
E（$\sqrt{3}，0，0$），F(xiàn)（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}，1$），
所以$\overrightarrow{AE}=（\sqrt{3}，0，0），\overrightarrow{AF}=（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，1}）$．
設(shè)平面AEF的一法向量為m=（x₁，y₁，z₁），
則$\left\{\begin{array}{l}m•\overrightarrow{AE}=0\\ m•\overrightarrow{AF}=0\end{array}\right.$因此$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}{x_1}=0\\ \frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_1}+\frac{1}{2}{y_1}+{z_1}=0\end{array}\right.$，
取z₁=-1，則m=（0，2，-1），因?yàn)锽D⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，
所以BD⊥平面AFC，故$\overrightarrow{BD}$為平面AFC的一個(gè)法向量．
又$\overrightarrow{BD}$=（-$\sqrt{3}，3，0$），所以cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{BD}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{2×3}{\sqrt{5}×\sqrt{12}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
因?yàn)槎�面角E-AF-C為銳角，所以所求二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．