Question

10．已知函數(shù)f（x）=ax²-（2a-1）x-lnx．
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，求函數(shù)f（x）在$[{\frac{1}{2}，1}]$上的最小值；
（3）記函數(shù)y=f（x）的圖象為曲線C，設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲線C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂直交曲線C于點(diǎn)N，判斷曲線C在點(diǎn)N處的切線是否平行于直線AB，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由a＞0，定義域?yàn)椋?，+∞），再由f′（x）＞0求得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)-$\frac{1}{2a}$，1，分-$\frac{1}{2a}$＞1，$\frac{1}{2}$≤-$\frac{1}{2a}$≤1，-$\frac{1}{2a}$＜$\frac{1}{2}$，討論函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，1]上的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，最后表示為關(guān)于a的分段函數(shù)；
（3）設(shè)出線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，得到N的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式求出AB的斜率，再由導(dǎo)數(shù)得到曲線C過N點(diǎn)的切線的斜率，由斜率相等得到ln $\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{1+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$，令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t后構(gòu)造函數(shù)g（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{1+t}$（t＞1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷不成立．

解答 解：（1）∵f（x）=ax²+（1-2a）x-lnx，
∴f′（x）=2ax+（1-2a）-$\frac{1}{x}$=$\frac{（2ax+1）（x-1）}{x}$，
∵a＞0，x＞0，
∴2ax+1＞0，解f′（x）＞0，得x＞1，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）=0，得x₁=-$\frac{1}{2a}$，x₂=1，
①當(dāng)-$\frac{1}{2a}$＞1，即-$\frac{1}{2}$＜a＜0時(shí)，f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，
∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上的最小值為f（1）=1-a．
②當(dāng)$\frac{1}{2}$≤-$\frac{1}{2a}$≤1，即-1≤a≤-$\frac{1}{2}$時(shí)，
f（x）在[$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2a}$]上是減函數(shù)，在[-$\frac{1}{2a}$，1]上是增函數(shù)，
∴f（x）的最小值為f（-$\frac{1}{2a}$）=1-$\frac{1}{4a}$+ln（-2a）．
③當(dāng)-$\frac{1}{2a}$＜$\frac{1}{2}$，即a＜-1時(shí)，f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上是增函數(shù)，
∴f（x）的最小值為f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{4}$a+ln2．
綜上，函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，1]上的最小值為：
f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}-\frac{3}{4}a+ln2，a＜-1}\\{1-\frac{1}{4a}+ln（-2a），-1≤a≤-\frac{1}{2}}\\{1-a，-\frac{1}{2}＜a＜0}\end{array}\right.$；
（3）設(shè)M（x₀，y₀），則點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為x₀=$\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$，
直線AB的斜率k₁=$\frac{{{y}_{1}-y}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=$\frac{1}{{{x}_{1}-x}_{2}}$[a（x₁²-x₂²）+（1-2a）（x₁-x₂）+lnx₂-lnx₁]
=a（x₁+x₂）+（1-2a）+$\frac{l{nx}_{2}-l{nx}_{1}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$，
曲線C在點(diǎn)N處的切線斜率k₂=f′（x₀）=2ax₀+（1-2a）-$\frac{1}{{x}_{0}}$=a（x₁+x₂）+（1-2a）-$\frac{2}{{{x}_{1}+x}_{2}}$，
假設(shè)曲線C在點(diǎn)N處的切線平行于直線AB，則k₁=k₂，
即 $\frac{l{nx}_{2}-l{nx}_{1}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=-$\frac{2}{{{x}_{1}+x}_{2}}$，
∴l(xiāng)n $\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=$\frac{2（{{x}_{2}-x}_{1}）}{{{x}_{1}+x}_{2}}$=$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{1+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$，
不妨設(shè)x₁＜x₂，$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t＞1，則lnt=$\frac{2（t-1）}{1+t}$，
令g（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{1+t}$（t＞1），則g′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{4}{{（1+t）}^{2}}$=$\frac{{（t-1）}^{2}}{{t（1+t）}^{2}}$＞0，
∴g（t）在（1，+∞）上是增函數(shù)，又g（1）=0，
∴g（t）＞0，即lnt=$\frac{2（t-1）}{1+t}$不成立，
∴曲線C在點(diǎn)N處的切線不平行于直線AB．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了利用構(gòu)造函數(shù)法證明等式恒成立問題，特別是對于（3）的證明，要求學(xué)生較強(qiáng)的應(yīng)變能力，是壓軸題．