Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x+3，x≤1}\\{x+\frac{2}{x}，x＞1}\end{array}$，設a∈R，若關于x的不等式f（x）≥|$\frac{x}{2}$+a|在R上恒成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{47}{16}$，2]
• B． [-$\frac{47}{16}$，$\frac{39}{16}$]
• C． [-2$\sqrt{3}$，2]
• D． [-2$\sqrt{3}$，$\frac{39}{16}$]

Answer 1

分析 討論當x≤1時，運用絕對值不等式的解法和分離參數(shù)，可得-x²+$\frac{1}{2}$x-3≤a≤x²-$\frac{3}{2}$x+3，再由二次函數(shù)的最值求法，可得a的范圍；討論當x＞1時，同樣可得-（$\frac{3}{2}$x+$\frac{2}{x}$）≤a≤$\frac{x}{2}$+$\frac{2}{x}$，再由基本不等式可得最值，可得a的范圍，求交集即可得到所求范圍．

解答 解：當x≤1時，關于x的不等式f（x）≥|$\frac{x}{2}$+a|在R上恒成立，
即為-x²+x-3≤$\frac{x}{2}$+a≤x²-x+3，
即有-x²+$\frac{1}{2}$x-3≤a≤x²-$\frac{3}{2}$x+3，
由y=-x²+$\frac{1}{2}$x-3的對稱軸為x=$\frac{1}{4}$＜1，可得x=$\frac{1}{4}$處取得最大值-$\frac{47}{16}$；
由y=x²-$\frac{3}{2}$x+3的對稱軸為x=$\frac{3}{4}$＜1，可得x=$\frac{3}{4}$處取得最小值$\frac{39}{16}$，
則-$\frac{47}{16}$≤a≤$\frac{39}{16}$①
當x＞1時，關于x的不等式f（x）≥|$\frac{x}{2}$+a|在R上恒成立，
即為-（x+$\frac{2}{x}$）≤$\frac{x}{2}$+a≤x+$\frac{2}{x}$，
即有-（$\frac{3}{2}$x+$\frac{2}{x}$）≤a≤$\frac{x}{2}$+$\frac{2}{x}$，
由y=-（$\frac{3}{2}$x+$\frac{2}{x}$）≤-2$\sqrt{\frac{3x}{2}•\frac{2}{x}}$=-2$\sqrt{3}$（當且僅當x=$\frac{2}{\sqrt{3}}$＞1）取得最大值-2$\sqrt{3}$；
由y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{\frac{1}{2}x•\frac{2}{x}}$=2（當且僅當x=2＞1）取得最小值2．
則-2$\sqrt{3}$≤a≤2②
由①②可得，-$\frac{47}{16}$≤a≤2．
另解：作出f（x）的圖象和折線y=|$\frac{x}{2}$+a|
當x≤1時，y=x²-x+3的導數(shù)為y′=2x-1，
由2x-1=-$\frac{1}{2}$，可得x=$\frac{1}{4}$，
切點為（$\frac{1}{4}$，$\frac{45}{16}$）代入y=-$\frac{x}{2}$-a，解得a=-$\frac{47}{16}$；
當x＞1時，y=x+$\frac{2}{x}$的導數(shù)為y′=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$，
由1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，可得x=2（-2舍去），
切點為（2，3），代入y=$\frac{x}{2}$+a，解得a=2．
由圖象平移可得，-$\frac{47}{16}$≤a≤2．
故選：A．

點評 本題考查分段函數(shù)的運用，不等式恒成立問題的解法，注意運用分類討論和分離參數(shù)法，以及轉化思想的運用，分別求出二次函數(shù)和基本不等式求最值是解題的關鍵，屬于中檔題．