Question

某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺某產(chǎn)品的A，B，C三種部件的訂單，每臺產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為2，2，1（單位：件）．已知每個工人每天可生產(chǎn)A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．該企業(yè)計劃安排200名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件，生產(chǎn)B部件的人數(shù)與生產(chǎn)A部件的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為K（K為正整數(shù)）．
（1）設(shè)生產(chǎn)A部件的人數(shù)為x，分別寫出完成A，B，C三種部件生產(chǎn)需要的時間；
（2）假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時開工，試確定正整數(shù)K的值，使完成訂單任務(wù)的時間最短，并給出時間最短時具體的人數(shù)分組方案．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)完成A，B，C三種部件生產(chǎn)需要的時間分別為T₁（x），T₂（x），T₃（x），則可得，，；
（2）完成訂單任務(wù)的時間為f（x）=max{T₁（x），T₂（x），T₃（x）}，其定義域為，可得T₁（x），T₂（x）為減函數(shù)，T₃（x）為增函數(shù)，T₂（x）=T₁（x），分類討論：①當k=2時，T₂（x）=T₁（x），f（x）=max{T₁（x），T₃（x）}=max{}，利用基本不等式求出完成訂單任務(wù)的最短時間；②當k≥3時，T₂（x）＜T₁（x），記，為增函數(shù)，φ（x）=max{T₁（x），T（x）}f（x）=max{T₁（x），T₃（x）}≥max{T₁（x），T（x）}=max{}，利用基本不等式求出完成訂單任務(wù)的最短時間；③當k＜2時，k=1，f（x）=max{T₂（x），T₃（x）}=max{}，利用基本不等式求出完成訂單任務(wù)的最短時間，從而問題得解．
解答：解：（1）設(shè)寫出完成A，B，C三種部件生產(chǎn)需要的時間分別為T₁（x），T₂（x），T₃（x）
∴，，
其中x，kx，200-（1+k）x均為1到200之間的正整數(shù)
（2）完成訂單任務(wù)的時間為f（x）=max{T₁（x），T₂（x），T₃（x）}，其定義域為
∴T₁（x），T₂（x）為減函數(shù)，T₃（x）為增函數(shù)，T₂（x）=T₁（x）
①當k=2時，T₂（x）=T₁（x），f（x）=max{T₁（x），T₃（x）}=max{}
∵T₁（x），T₃（x）為增函數(shù)，∴當時，f（x）取得最小值，此時x=
∵，，，f（44）＜f（45）
∴x=44時，完成訂單任務(wù)的時間最短，時間最短為
②當k≥3時，T₂（x）＜T₁（x），
記，為增函數(shù)，φ（x）=max{T₁（x），T（x）}
f（x）=max{T₁（x），T₃（x）}≥max{T₁（x），T（x）}=max{}
∵T₁（x）為減函數(shù)，T（x）為增函數(shù)，∴當時，φ（x）取得最小值，此時x=
∵，，
∴完成訂單任務(wù)的時間大于
③當k＜2時，k=1，f（x）=max{T₂（x），T₃（x）}=max{}
∵T₂（x）為減函數(shù)，T₃（x）為增函數(shù)，∴當時，φ（x）取得最小值，此時x=
類似①的討論，此時完成訂單任務(wù)的時間為，大于
綜上所述，當k=2時，完成訂單任務(wù)的時間最短，此時，生產(chǎn)A，B，C三種部件的人數(shù)分別為44，88，68．
點評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學思想，解題的關(guān)鍵是確定分類標準，有難度．