Question

19．設(shè)點F為橢圓$C：\frac{x^2}{4m}+\frac{y^2}{3m}=1（m＞0）$的左焦點，直線y=x被橢圓C截得弦長為$\frac{{4\sqrt{42}}}{7}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）圓$P：{（x+\frac{{4\sqrt{3}}}{7}）^2}+{（y-\frac{{3\sqrt{3}}}{7}）^2}={r^2}（r＞0）$與橢圓C交于A，B兩點，M為線段AB上任意一點，直線FM交橢圓C于P，Q兩點AB為圓P的直徑，且直線FM的斜率大于1，求|PF|•|QF|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}y=x\\ \frac{x^2}{4m}+\frac{y^2}{3m}=1\end{array}\right.$，得${x^2}={y^2}=\frac{12m}{7}$，解得m=1，即可求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用中點坐標(biāo)公式以及平方差法，求解${k_{AB}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=1$，得到直線AB的方程，代入橢圓C的方程并整理得$7{x^2}+8\sqrt{3}x=0$，求出直線FM的斜率$k∈[\sqrt{3}，+∞）$，設(shè)FM：y=k（x+1），利用$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+1）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，消去y，設(shè)P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），利用韋達定理以及弦長公式，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}y=x\\ \frac{x^2}{4m}+\frac{y^2}{3m}=1\end{array}\right.$，得${x^2}={y^2}=\frac{12m}{7}$，
故$2\sqrt{{x^2}+{y^2}}=2\sqrt{\frac{24m}{7}}=\frac{{4\sqrt{42}}}{7}$，解得m=1，
故橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．                  （3分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{{8\sqrt{3}}}{7}\\{y_1}+{y_2}=\frac{{6\sqrt{3}}}{7}\end{array}\right.$，又$\left\{\begin{array}{l}\frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{3}=1\\ \frac{x_2^2}{4}+\frac{y_2^2}{3}=1\end{array}\right.$，（4分）
所以$\frac{{（{x_1}+{x_2}）（{x_1}-{x_2}）}}{4}+\frac{{（{y_1}+{y_2}）（{y_1}-{y_2}）}}{3}=0$，則（x₁-x₂）-（y₁-y₂）=0，故${k_{AB}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=1$，
則直線AB的方程為$y-\frac{{3\sqrt{3}}}{7}=x+\frac{{4\sqrt{3}}}{7}$，即$y=x+\sqrt{3}$，代入橢圓C的方程并整理得$7{x^2}+8\sqrt{3}x=0$，
則${x_1}=0，{x_2}=-\frac{{8\sqrt{3}}}{7}$，故直線FM的斜率$k∈[\sqrt{3}，+∞）$，（7分）
設(shè)FM：y=k（x+1），由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+1）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
設(shè)P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），則有${x_3}+{x_4}=\frac{{-8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}，{x_3}{x_4}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，（8分）
又$|{PF}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_3}+1}|，|{QF}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_4}+1}|$，
所以$|{PF}|•|{QF}|=（1+{k^2}）|{{x_3}{x_4}+（{x_3}+{x_4}）+1}|=（1+{k^2}）|{\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}-\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}+1}|$
=$（1+{k^2}）\frac{9}{{3+4{k^2}}}=\frac{9}{4}（1+\frac{1}{{3+4{k^2}}}）$，（10分）
因為$k≥\sqrt{3}$，所以$\frac{9}{4}＜\frac{9}{4}（1+\frac{1}{{3+4{k^2}}}）≤\frac{12}{5}$，
即|PF|•|QF|的取值范圍是$（\frac{9}{4}，\frac{12}{5}]$．                  （12分）

點評 本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．