Question

7．一個口袋里裝有大小相同的6個小球，其中紅色、黃色、綠色的球各2個，現(xiàn)從中任意取出3個小球，其中恰有2個小球同顏色的概率是$\frac{3}{5}$．若取到紅球得1分，取到黃球得2分，取到綠球得3分，記變量ξ為取出的三個小球得分之和，則ξ的期望為6．

Answer 1

分析 ①從中任意取出3個小球，其中恰有2個小球同顏色的概率P=$\frac{{∁}_{3}^{1}{∁}_{2}^{2}{∁}_{4}^{1}}{{∁}_{6}^{3}}$．
②由題意可得：ξ的取值為4，5，6，7，8．通過分類討論，利用相互獨立與互斥事件的概率計算公式即可得出分布列，進而得出數(shù)學(xué)期望．

解答 解：①從中任意取出3個小球，其中恰有2個小球同顏色的概率P=$\frac{{∁}_{3}^{1}{∁}_{2}^{2}{∁}_{4}^{1}}{{∁}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$．
②由題意可得：ξ的取值為4，5，6，7，8．
P（ξ=4）=P（2紅1黃）=$\frac{{∁}_{2}^{2}{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{6}^{3}}$=$\frac{2}{20}$=$\frac{1}{10}$，P（ξ=5）=P（2紅1綠）+P（2黃1紅）=$\frac{{∁}_{2}^{2}{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{6}^{3}}$+$\frac{{∁}_{2}^{2}{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{6}^{3}}$=$\frac{4}{20}$=$\frac{2}{10}$，P（ξ=6）=P（1紅1黃1綠）=$\frac{{∁}_{2}^{1}{∁}_{2}^{1}{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{6}^{3}}$=$\frac{8}{20}$=$\frac{4}{10}$，P（ξ=7）=P（2黃1綠）+P（2綠1紅）=$\frac{{∁}_{2}^{2}{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{6}^{3}}$+$\frac{{∁}_{2}^{2}{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{6}^{3}}$=$\frac{4}{20}$=$\frac{2}{10}$，P（ξ=8）=P（2綠1黃）=$\frac{{∁}_{2}^{2}{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{6}^{3}}$=$\frac{2}{20}$=$\frac{1}{10}$．
∴

ξ	4	5	6	7	8
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{2}{10}$	$\frac{4}{10}$	$\frac{2}{10}$	$\frac{1}{10}$

E（ξ）=4×$\frac{1}{10}$+5×$\frac{2}{10}$+6×$\frac{4}{10}$+7×$\frac{2}{10}$+8×$\frac{1}{10}$=6．∴
故答案為：$\frac{3}{5}$，6．

點評 本題考查了相互獨立與互斥事件的概率計算公式、隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．