Question

19．如果有窮數(shù)列a₁，a₂，a₃，…a_m（m為正整數(shù)）滿足a₁=a_m，a₂=a_m-1，…a_m=a₁，即a_i=a_m-i+1（i=1，2…，m），那么我們稱其為對(duì)稱數(shù)列．
（1）設(shè)數(shù)列{b_n}是項(xiàng)數(shù)為7的對(duì)稱數(shù)列，其中b₁，b₂，b₃，b₄為等差數(shù)列，且b₁=2，b₄=11，依次寫出數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}是項(xiàng)數(shù)為2k-1（正整數(shù)k＞1）的對(duì)稱數(shù)列，其中c_k，c_k+1，…，c_2k-1是首項(xiàng)為50，公差為-4的等差數(shù)列．記數(shù)列{c_n}的各項(xiàng)和為數(shù)列S_2k-1，當(dāng)k為何值時(shí)，S_2k-1取得最大值？并求出此最大值；
（3）對(duì)于確定的正整數(shù)m＞1，寫出所有項(xiàng)數(shù)不超過(guò)2m的對(duì)稱數(shù)列，使得1，2，2²，…，2^m-1依次為該數(shù)列中連續(xù)的項(xiàng)．當(dāng)m＞1500時(shí)，求其中一個(gè)數(shù)列的前2015項(xiàng)和S₂₀₁₅．

Answer 1

分析 （1）設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d，則b₄=b₁+3d=2+3d=11，解得d，即可得出；
（2）利用等差數(shù)列的求和公式可求得c_k+c_k+1+…+c_2k-1=-2k²+52k，從而可得S_2k-1=2（c_k+c_k+1+…+c_2k-1）-c_k=-4（k-13）²+4×13²-50，從而可得答案；
（3）依題意，可寫出所有項(xiàng)數(shù)不超過(guò)2m的“對(duì)稱數(shù)列”，依次求得每個(gè)“對(duì)稱數(shù)列”前2008項(xiàng)的和即可．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d，則b₄=b₁+3d=2+3d=11，解得d=3，
∴數(shù)列{b_n}為2，5，8，11，8，5，2．
（2）∵c_k，c_k+1，…，c_2k-1是首項(xiàng)為50，公差為-4的等差數(shù)列，
∴c_k+c_k+1+…+c_2k-1=50k+$\frac{k（k-1）}{2}$•（-4）=-2（k²-k）+50k，
∴S_2k-1=c₁+c₂+…+c_k-1+c_k+c_k+1+…+c_2k-1
=2（c_k+c_k+1+…+c_2k-1）-c_k
=-4（k²-k）+100k-50
=-4（k-13）²+4×13²-50，
∴當(dāng)k=13時(shí)，S_2k-1取得最大值．S_2k-1的最大值為626；
（3）所有可能的“對(duì)稱數(shù)列”是：
①1，2，2²，…，2^m-2，2^m-1，2^m-2，…，2²，2，1；
②1，2，2²，…，2^m-2，2^m-1，2^m-1，2^m-2，…，2²，2，1；
③2^m-1，2^m-2，…，2²，2，1，2，2²，…，2^m-2，2^m-1；
④2^m-1，2^m-2，…，2²，2，1，1，2，2²，…，2^m-2，2^m-1．
對(duì)于①，當(dāng)m≥2015時(shí)，S₂₀₁₅=1+2+2²+…+2²⁰¹⁴=2²⁰¹⁵-1；
當(dāng)1500＜m≤2014時(shí)，S₂₀₁₅=1+2+2²+…+2^m-2+2^m-1+2^m-2+…+2^2m-2016
=2^m-1+2^m-1-2^2m-2016=2^m+2^m-1-2^2m-2016-1．
對(duì)于②，當(dāng)m≥2015時(shí)，S₂₀₁₅=2²⁰¹⁵-1．
當(dāng)1500＜m≤2014時(shí)，S₂₀₁₅=2^m+1-2^2m-2015-1．
對(duì)于③，當(dāng)m≥2015時(shí)，S₂₀₁₅=2^m-2^m-2015．
當(dāng)1500＜m≤2014時(shí)，S₂₀₁₅=2^m+2^2016-m-3．
對(duì)于④，當(dāng)m≥2015時(shí)，S₂₀₁₅=2^m-2^m-2015．
當(dāng)1500＜m≤2014時(shí)，S₂₀₁₅=2^m+2^2015-m-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和，突出考查等差數(shù)列的求和公式，考查抽象思維與邏輯思維、綜合分析與運(yùn)算能力，屬于難題．