Question

已知圓O：x²+y²=1，把圓O上各點的橫坐標伸長到原來的

2

倍（縱坐標不變）得到曲線E．
（1）求曲線E的方程并指出曲線E是什么曲線；
（2）設F（-1，0），過點F且不與坐標軸垂直的直線交曲線E于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于G點，求G點橫坐標的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設曲線E上任一點坐標為P'（x'，y'），相應于圓O上的點P（x，y），由題意

x′= 2 x y′=y

，解出x，y，代入圓的方程即可．
（2）設直線AB的方程為y=k（x+1）（k≠0）．與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系，利用中點坐標公式可得線段AB的中點坐標，進而得到線段AB的垂直平分線的方程，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性和反比例函數(shù)的單調(diào)性即可得出G點橫坐標的取值范圍．

解答：解：（1）設曲線E上任一點坐標為P'（x'，y'），相應于圓O上的點P（x，y），
由題意

x′= 2 x y′=y

，∴

x= 2 2 x′ y=y′

，代入曲線O，得

(x′)2

2

+(y′)2=1
∴曲線E的方程為

x2

2

+y2=1，曲線E是橢圓．
（2）設直線AB的方程為y=k（x+1）（k≠0）．
由

x2 2 +y2=1 y=k(x+1)

得（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，
∵F（-1，0）為橢圓E內(nèi)一點，∴不論k為何值，直線與橢圓必有兩個交點，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB中點M(x0，y0)，x1+x2=-

4k2

2k2+1

．
∴x0=

x1+x2

2

=-

2k2

2k2+1

，y0=k(x0+1)=

k

2k2+1

，
∴線段AB的垂直平分線方程為y-y0=-

1

k

(x-x0)，
令y=0，得x=x0+ky0=-

2k2

2k2+1

+

k2

2k2+1

=-

k2

2k2+1

=-

1

2

+

1

4k2+2

，
∵k≠0，k∈R，∴-

1

2

＜x＜0．
∴G點橫坐標的取值范圍是(-

1

2

，0)．

點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、線段的垂直平分線的性質(zhì)、中點坐標公式、二次函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關鍵．