Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+3|+|x-1|．
（1）解不等式f（x）＞4；
（2）若?x∈（-∞，-$\frac{3}{2}$），不等式a+1＜f（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的分段函數(shù)的形式，通過討論x的范圍得到關(guān)于x的不等式組，解出取并集即可；
（2）x＜-$\frac{3}{2}$時，f（x）=-3x-2＞$\frac{5}{2}$，問題轉(zhuǎn)化為a+1≤$\frac{5}{2}$，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）∵f（x）=|2x+3|+|x-1|，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3x-2，x＜-\frac{3}{2}}\\{x+4，-\frac{3}{2}≤x≤1}\\{3x+2，x＞1}\end{array}\right.$，
f（x）＞4?$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{3}{2}}\\{-3x-2＞4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}≤x≤1}\\{x+4＞4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{3x+2＞4}\end{array}\right.$
?x＜-2或0＜x≤1或x＞1，
綜上，不等式f（x）＞4的解集是：（-∞，-2）∪（0，+∞）；
（2）由（1）得：x＜-$\frac{3}{2}$時，f（x）=-3x-2，
∵x＜-$\frac{3}{2}$時，f（x）=-3x-2＞$\frac{5}{2}$，
∴a+1≤$\frac{5}{2}$，解得：a≤$\frac{3}{2}$，
∴實(shí)數(shù)a的范圍是（-∞，$\frac{3}{2}$]．

點(diǎn)評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．