Question

2．在三棱錐P-ABC，PA⊥平面ABC，AB=AC=AP=2，∠ABC=60°，則此三棱錐的外接球的表面積為$\frac{28π}{3}$．

Answer 1

分析 由題意可得此三棱錐的外接球，是以△ABC為底面以PA為高的正三棱柱的外接球，
分別求出棱錐底面半徑r和球心距d，可得球的半徑R，即可求出三棱錐P-ABC外接球表面積．

解答 解：三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，
AB=AC=AP=2，∠ABC=60°，
∴△ABC是邊長為2的正三角形，
∴此三棱錐的外接球，是以△ABC為底面以PA為高的正三棱柱的外接球；
∵△ABC是邊長為2的正三角形，
∴△ABC的外接圓半徑r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
球心到△ABC的外接圓圓心的距離d=1，
故球的半徑R=$\sqrt{{（\frac{2\sqrt{3}}{3}）}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{\frac{7}{3}}$
∴外接球的表面積為4πR²=4π•${（\sqrt{\frac{7}{3}}）}^{2}$=$\frac{28π}{3}$．
故答案為：$\frac{28π}{3}$．

點評 本題考查了球內(nèi)接多面體的應(yīng)用問題，正確求出球的半徑R是解題的關(guān)鍵．