Question

6．給出下列四個(gè)命題：
①若f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，$θ∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$，則f（sinθ）＞f（cosθ）；
②若銳角α，β滿足cosα＞sinβ，則α+β＜$\frac{π}{2}$；
③已知扇形的半徑為R，面積為2R²，則這個(gè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為4；
④f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=sin2x+cosx，則$f（-\frac{π}{6}）=-\sqrt{3}$．
其中真命題的序號(hào)為②③④．

Answer 1

分析 （1）由已知可得函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞減，結(jié)合$θ∈（{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）$，可知0＜cosθ＜sinθ＜1，從而可判斷（1）
（2）由銳角α，β滿足cosα＞sinβ可得sin（$\frac{1}{2}π-α$）＞sinβ，則有$\frac{1}{2}π-α＞β$，則可判斷（2）
（3）由扇形的面積公式和弧度數(shù)公式進(jìn)行求解判斷
（4）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，故可判斷（4）

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，可得函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞減，
由$θ∈（{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）$，可得0＜cosθ＜sinθ＜1，則f（sinθ）＜f（cosθ），故①錯(cuò)誤
（2）由銳角α，β滿足cosα＞sinβ可得sin（$\frac{1}{2}π-α$）＞sinβ，則有$\frac{1}{2}π-α＞β$即$α+β＜\frac{π}{2}$，故②正確
（3）設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，則扇形的面積S=$\frac{1}{2}$lR=2R²，即l=4R，
則這個(gè)扇形的圓心角的弧度數(shù)α=$\frac{l}{R}$=4，故③正確，
（4）∵f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=sin2x+cosx，
∴f（-$\frac{π}{6}$）=-f（$\frac{π}{6}$）=-（sin$\frac{π}{3}$+cos$\frac{π}{6}$）=-（$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-$\sqrt{3}$，故④正確，
故答案為：②③④

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．