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10.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,并且滿足2Sn=an2+n,an>0(n∈N*).
(Ⅰ)求a1,a2,a3;
(Ⅱ)猜想{an}的通項公式,并加以證明;
(Ⅲ)設(shè)bn=1an3,求證:b1+b2+…+bn54

分析 (Ⅰ)由2Sn=an2+n,an>0(n∈N*).分別令n=1,2,3,即可得出;
(Ⅱ)猜想:an=n,利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明.
(III)bn=1an3=1n3,可得n21n31n3n=1n1nn+1=12[1n1n1nn+1],利用“裂項求和”方法即可得出.

解答 解:(Ⅰ)由2Sn=an2+n,an>0(n∈N*).
分別令n=1,2,3,得{2a1=a21+12a1+a2=a22+22a1+a2+a3=a23+3
∵an>0,∴a1=1,a2=2,a3=3.
(Ⅱ)解:猜想:an=n,
由   2Sn=a2n+n
可知,當(dāng)n≥2時,2Sn1=a2n1+n1
①-②,得  2an=a2na2n1+1,即a2n=2an+a2n11
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明:
(1)當(dāng)n=2時,a22=2a2+121,∵a2>0,∴a2=2;.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時,ak=k.
那么當(dāng)n=k+1時,a2k+1=2ak+1+a2k1=2ak+1+k21,
∴[ak+1-(k+1)][ak+1+(k-1)]=0,
∵ak+1>0,k≥2,∴ak+1+(k-1)>0,
∴ak+1=k+1.
這就是說,當(dāng)n=k+1時也成立,
∴an=n(n≥2).顯然n=1時,也適合.
故對于n∈N*,均有an=n.
(III)證明:bn=1an3=1n3,∵n21n31n3n=1n1nn+1
b1+b2+bn=113+123++1n31+11×2×3+12×3×4++1n1nn+1=1+12[11×212×3+12×313×4++1n1n1nn+1]=1+12[121nn+1]54

點評 本題考查了遞推關(guān)系、數(shù)學(xué)歸納法、“裂項求和”、數(shù)列的單調(diào)性,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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