分析 (Ⅰ)由2Sn=an2+n,an>0(n∈N*).分別令n=1,2,3,即可得出;
(Ⅱ)猜想:an=n,利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明.
(III)bn=1an3=1n3,可得n≥2,1n3<1n3−n=1(n−1)n(n+1)=12[1(n−1)n−1n(n+1)],利用“裂項求和”方法即可得出.
解答 解:(Ⅰ)由2Sn=an2+n,an>0(n∈N*).
分別令n=1,2,3,得{2a1=a21+12(a1+a2)=a22+22(a1+a2+a3)=a23+3
∵an>0,∴a1=1,a2=2,a3=3.
(Ⅱ)解:猜想:an=n,
由 2Sn=a2n+n①
可知,當(dāng)n≥2時,2Sn−1=a2n−1+(n−1)②
①-②,得 2an=a2n−a2n−1+1,即a2n=2an+a2n−1−1.
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明:
(1)當(dāng)n=2時,a22=2a2+12−1,∵a2>0,∴a2=2;.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時,ak=k.
那么當(dāng)n=k+1時,a2k+1=2ak+1+a2k−1=2ak+1+k2−1,
∴[ak+1-(k+1)][ak+1+(k-1)]=0,
∵ak+1>0,k≥2,∴ak+1+(k-1)>0,
∴ak+1=k+1.
這就是說,當(dāng)n=k+1時也成立,
∴an=n(n≥2).顯然n=1時,也適合.
故對于n∈N*,均有an=n.
(III)證明:bn=1an3=1n3,∵n≥2,1n3<1n3−n=1(n−1)n(n+1),
∴b1+b2+…bn=113+123+…+1n3<1+11×2×3+12×3×4+…+1(n−1)n(n+1)=1+12[(11×2−12×3)+(12×3−13×4)+…+(1(n−1)n−1n(n+1))]=1+12[12−1n(n+1)]<54.
點評 本題考查了遞推關(guān)系、數(shù)學(xué)歸納法、“裂項求和”、數(shù)列的單調(diào)性,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
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A. | -\frac{1}{π} | B. | \frac{1}{π} | C. | -\frac{1}{π^2} | D. | 0 |
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A. | \vec a-\vec b | B. | \vec b-\vec a | C. | \frac{1}{2}(\vec a-\vec b) | D. | \frac{1}{2}(\vec b-\vec a) |
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