Question

如圖1，已知⊙O的直徑AB=4，點C、D為⊙O上兩點，且∠CAB=45°，∠DAB=60°，F(xiàn)為弧BC的中點．將⊙O沿直徑AB折起，使兩個半圓所在平面互相垂直（如圖2）．
（Ⅰ）求證：OF∥AC；
（Ⅱ）在弧BD上是否存在點G，使得FG∥平面ACD？若存在，試指出點G的位置；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）求二面角C-AD-B的正弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的性質(zhì)

專題：空間向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）以O(shè)為坐標(biāo)原點，以AB所在直線為y軸，以O(shè)C所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量

AC

與

OF

的坐標(biāo)，利用向量共線的坐標(biāo)表示求證OF∥AC，從而說明線面平行；．
（Ⅱ）假設(shè)在

BD

上存在點G，使得FG∥平面ACD，根據(jù)（1）中的結(jié)論，利用兩面平行的判定定理得到平面OFG∥平面ACD，從而得到OG∥AD，利用共線向量基本定理得到G的坐標(biāo)（含有參數(shù)）．
（Ⅲ）根據(jù)∠DAB=60°求出D點坐標(biāo)，然后求出平面ACD的一個法向量，找出平面ADB的一個法向量，利用兩平面法向量所成角的余弦值求解二面角C-AD-B的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：如圖，因為∠CAB=45°，連結(jié)OC，則OC⊥AB．
以AB所在的直線為y軸，以O(shè)C所在的直線為z軸，以O(shè)為原點，
作空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則A（0，-2，0），C（0，0，2）．

AC

=（0，0，2）-（0，-2，0）=（0，2，2），
∵點F為

BC

的中點，∴點F的坐標(biāo)為（0，

2

，

2

），

OF

=(0，

2

，

2

)．
∴

OF

=

2

2

AC

，∴OF∥AC．
∵OF?平面ACD，AC?平面ACD，∴OF∥平面ACD．
（Ⅱ）解：設(shè)在

BD

上存在點G，使得FG∥平面ACD，
∵OF∥平面ACD，∴平面OFG∥平面ACD，則有OG∥AD．
設(shè)

OG

=λ

AD

（λ＞0），∵

AD

=（

3

，1，0），
∴

OG

=（

3

λ，λ，0）．
又∵|

OG

|=2，∴

( 3 λ)2+λ2+λ2

=2，解得λ=±1（舍去-1）．
∴

OG

=（

3

，1，0），則G為

BD

的中點．
∴在

BD

上存在點G，使得FG∥平面ACD，且點G為

BD

的中點．
（Ⅲ）解：∵∠DAB=60°，
∴點D的坐標(biāo)D（

3

，1，0），

AD

=（

3

，1，0）．
設(shè)二面角C-AD-B的大小為θ，
設(shè)

n1

=(x，y，z)為平面ACD的一個法向量．
由

n1 • AC =2y+2z=0 n1 • AD = 3 x+y=0

，取x=1，解得y=-

3

，z=

3

．∴

n1

=（1，-

3

，

3

）． 
取平面ADB的一個法向量

n2

=（0，0，1），
∴cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

3

1× 7

|=

21

7

．
∴sinθ=

1-cos2θ

=

1-( 21 7 )2

=

2 7

7

．
∴二面角C-AD-B的正弦值為

2 7

7

．

點評：本題主要考查空間點、線、面位置關(guān)系，線面角、二面角及三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查用向量方法解決數(shù)學(xué)問題的能力．