【題目】在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(,為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為,若直線與曲線相切;
(1)求曲線的極坐標方程與直線的直角坐標方程;
(2)在曲線上取兩點,與原點構成,且滿足,求面積的最大值.
【答案】(1),;(2)
【解析】
(1)求出直線l的直角坐標方程為y2,曲線C是圓心為(,1),半徑為r的圓,直線l與曲線C相切,求出r=2,曲線C的普通方程為(x)2+(y﹣1)2=4,由此能求出曲線C的極坐標方程.(2)設M(ρ1,θ),N(ρ2,),(ρ1>0,ρ2>0),由2sin(2),由此能求出△MON面積的最大值.
(1)∵直線l的極坐標方程為,
∴由題意可知直線l的直角坐標方程為y2,
曲線C是圓心為(,1),半徑為r的圓,直線l與曲線C相切,
可得r2,
∵曲線C的參數(shù)方程為(r>0,φ為參數(shù)),
∴曲線C的普通方程為(x)2+(y﹣1)2=4,
所以曲線C的極坐標方程為ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ=0,
即.
(2)由(Ⅰ)不妨設M(ρ1,θ),N(ρ2,),(ρ1>0,ρ2>0),
4sin()sin()=2sinθcosθ+2
=sin2θ2sin(2),
當時,,故
所以△MON面積的最大值為2.
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【題目】為了分析某個高三學生的學習狀態(tài),對其下一階段的學習提供指導性建議.現(xiàn)對他前7次考試的數(shù)學成績、物理成績進行分析.下面是該生7次考試的成績.
數(shù)學 | 88 | 83 | 117 | 92 | 108 | 100 | 112 |
物理 | 94 | 91 | 108 | 96 | 104 | 101 | 106 |
(1)他的數(shù)學成績與物理成績哪個更穩(wěn)定?請給出你的證明;
(2)已知該生的物理成績與數(shù)學成績是線性相關的,若該生的物理成績達到115分,請你估計他的數(shù)學成績大約是多少?并請你根據(jù)物理成績與數(shù)學成績的相關性,給出該生在學習數(shù)學、物理上的合理建議.
參考公式:方差公式:,其中為樣本平均數(shù).,。
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面是菱形,,為等邊三角形,是線段上的一點,且平面.
(1)求證:為的中點;
(2)若為的中點,連接,,,,平面平面,,求三棱錐的體積.
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【題目】已知函數(shù)(,,均為正的常數(shù))的最小正周期為,當時,函數(shù)取得最小值,則下列結論正確的是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點,點在橢圓短軸上,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)設為橢圓上的一個不在軸上的動點,為坐標原點,過橢圓的右焦點作的平行線,交曲線于兩點,求面積的最大值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求的單調區(qū)間;
(2)記的最大值為,若且,求證:;
(3)若,記集合中的最小元素為,設函數(shù),求證:是的極小值點.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知橢圓的焦距為4,且過點.
(1)求橢圓的方程
(2)設橢圓的上頂點為,右焦點為,直線與橢圓交于、兩點,問是否存在直線,使得為的垂心,若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.
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