Question

16．已知f（x）=|xe^x|．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若g（x）=f²（x）+tf（x）（t∈R），滿(mǎn)足g（x）=-1的x有四個(gè)，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)討論x的范圍，去掉絕對(duì)值號(hào)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）做出函數(shù)f（x）=|x•e^x|的圖象，根據(jù)圖象可判斷在（$\frac{1}{e}$，+∞）上可有一個(gè)跟，在（0，$\frac{1}{e}$）上可有三個(gè)根，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出y（$\frac{1}{e}$）＜0，求解即可．

解答 解：（1）x≥0時(shí)，f（x）=xe^x，f′（x）=（x+1）e^x＞0，
f（x）在[0，+∞）遞增，
x＜0時(shí)，f（x）=-xe^x，f′（x）=-（x+1）e^x，
令f′（x）＞0，解得：x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜0，
故f（x）在（-∞，-1）遞增，在（-1，0）遞減；
（2）g（x）=-1的x有四個(gè)，
∴f²（x）+tf（x）-1=0有4個(gè)根，
f（x）=|x•e^x|的圖象如圖：

在x＜0時(shí)，有最大值f（-1）=$\frac{1}{e}$，
故要使有四個(gè)解，則f²（x）+tf（x）-1=0
一根在（0，$\frac{1}{e}$）中間，一根在（$\frac{1}{e}$，+∞），
∴$\frac{1}{{e}^{2}}$+t$\frac{1}{e}$+1＜0，
∴t-$\frac{1}{e}$＜-$\frac{1}{{e}^{2}}$-1，
∴t＜-$\frac{1}{e}$-e=-$\frac{{e}^{2}+1}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 考查了抽象函數(shù)的理解和利用數(shù)學(xué)結(jié)合的思想求解問(wèn)題．難點(diǎn)是對(duì)函數(shù)圖象的理解．