求半徑為R的球的內接正三棱錐的最大體積．

答案：
解析：

解 如圖，S－ABC是球O的內接正三棱錐，它的高=h，SO=AO=BO=CO=R．

∵為正三角形ABC的中心，

∴．

在Rt△中，，

當4R－2h=h，即h=R時，球O的內接正三棱錐的體積最大，這一最大體積為．

應當注意，這時，O是的一個四等分點．易知這時SA=AB，即S－ABC是正四面體，球心O是這個正四面體的中心，正四面體的中心是高的一個四等分點．把這個結論與正三角形的中心是高的一個三等分點聯(lián)系一下，就會發(fā)現(xiàn)其中的類似之處．


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