Question

3．下列不等式中，①α∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)，sin²α+$\frac{4}{{{{sin}^2}α}}$≥4；②log₂（x²+1）≥1+log₂x（x＞0）；③sinx+cosx≤$\sqrt{2}$；④2^2x+2^2y≥2^x+y+1恒成立的有（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 對(duì)于①，根據(jù)基本不等式等號(hào)成立的條件即可判斷，
對(duì)于②，根據(jù)基本不等式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)故可判斷，
對(duì)于③，sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷，
對(duì)于④，根據(jù)基本不等式和指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可判斷．

解答 解：對(duì)于①，sin²α+$\frac{4}{{{{sin}^2}α}}$≥4，當(dāng)且僅當(dāng)sin⁴α=4時(shí)取等號(hào)，顯然不成立，故①不恒成立，
對(duì)于②，∵x²+1≥2x，x＞0，∴l(xiāng)og₂（x²+1）≥log₂（2x）=1+log₂x，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，故恒成立，
對(duì)于③，sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），又sin（x+$\frac{π}{4}$）≤1，故sinx+cosx≤$\sqrt{2}$恒成立，
對(duì)于④，2^2x+2^2y≥2×2^x+y=2^x+y+1，故恒成立，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)恒成立的問(wèn)題，掌握基本不等式，三角函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．