Question

已知直線l經(jīng)過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若|AF|=4，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）若直線l的傾斜角為45°，求線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由y²=4x，得p=2，其準(zhǔn)線方程為x=-1，焦點(diǎn)F（1，0）．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由拋物線的定義可知，|AF|=x1+

p

2

，從而x₁=3．由此能得到點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）直線l的方程為y=x-1．與拋物線方程聯(lián)立，得

y=x-1 y2=4x

，整理得x²-6x+1=0，其兩根為x₁，x₂，且x₁+x₂=6．由拋物線的定義可知線段AB的長(zhǎng)．

解答：解：由y²=4x，得p=2，其準(zhǔn)線方程為x=-1，焦點(diǎn)F（1，0）．（2分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）由拋物線的定義可知，|AF|=x1+

p

2

，從而x₁=3．
代入y²=4x，解得y1=±2

3

．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，2

3

）或（3，-2

3

）．（6分）
（2）直線l的方程為y-0=tan45°（x-1），即y=x-1．
與拋物線方程聯(lián)立，得

y=x-1 y2=4x

，（9分）
消y，整理得x²-6x+1=0，其兩根為x₁，x₂，且x₁+x₂=6．
由拋物線的定義可知，|AB|=p+x₁+x₂=6+2=8．
所以，線段AB的長(zhǎng)是8．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，注意拋物線性質(zhì)的合理運(yùn)用．