Question

一籃球運(yùn)動(dòng)員投籃的命中率為60%，以η表示他首次投中時(shí)累計(jì)已投籃的次數(shù)，則η的數(shù)學(xué)期望是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：通過分析題目中的條件可知，事件{η=k}表示該運(yùn)動(dòng)員共投籃k次，第k次投中且前k-1次均未投中，所以該事件發(fā)生的概率為P（η=n）=

0.4×0.4×…×0.4

n-1個(gè)

×0.6，由此利用錯(cuò)位相減法求和并取極限，能求出η的數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：設(shè)隨機(jī)變量η表示運(yùn)動(dòng)員首次投中時(shí)累計(jì)已投籃的次數(shù)，
因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)員投中的概率為0.6，故投不中的概率為1-0.6=0.4，
由題意知η服從幾何分布，
∴P（η=n）=

0.4×0.4×…×0.4

n-1個(gè)

×0.6=0.4^n-1•0.6，
∴Eη=1×0.6+2×0.4×0.6+3×0.4²×0.6+…+n×0.4^n-1×0.6，①
0.4Eη=1×0.4×0.6+2×0．42 ×0.6+3×0．43×0.6+…+n×0.4ⁿ×0.6，②
①-②，得0.6Eη=0.6+0.4×0.6+0.4²×0.6+0.4³×0.6+…+0.4^n-1•0.6-n×0.4ⁿ×0.6，
∴Eη=1+0.4+0.4²+0.4³+…+0.4^n-1-n×0.4ⁿ
=

1-0．4n

1-0.4

-n×0.4ⁿ，
∴Eη=

lim

n→∞

(

1-0．4n

1-0.4

-n×0．4n)=

1

1-0.4

=

5

3

．
故答案為：

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意幾何分布的性質(zhì)和錯(cuò)位相減法求和并取極限的合理運(yùn)用．