Question

O為平行四邊形ABCD所在平面上一點(diǎn)，

OA

+

OB

=λ(

OC

+

OD

)，

OA

=μ(

AB

+2

AC

)，則λ的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，分別取AB，CD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，利用平行四邊形法則可得

OA

+

OB

=2

OE

，

OC

+

OD

=2

OF

．由于

OA

+

OB

=λ(

OC

+

OD

)，可得

OE

=λ

OF

．作

AM

=2

AC

，以AM，AB為鄰邊作平行四邊形ABNM．可得

AB

+2

AC

=

AN

．由于

OA

=μ(

AB

+2

AC

)，可得

OA

=μ

AN

．延長EF交直線MN與點(diǎn)P．利用平行線分線段成比例定理可得

OA

ON

=

AE

PN

=

FC

PN

=

1

2

，

OE

OP

=

AE

PN

=

1

4

=

OE

2OF

，即可得出．

解答： 解：如圖所示，
分別取AB，CD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，
則

OA

+

OB

=2

OE

，

OC

+

OD

=2

OF

．
∵

OA

+

OB

=λ(

OC

+

OD

)，
∴

OE

=λ

OF

．
∴三點(diǎn)E，O，F(xiàn)共線．
作

AM

=2

AC

，
以AM，AB為鄰邊作平行四邊形ABNM．
則

AB

+2

AC

=

AN

．
∵

OA

=μ(

AB

+2

AC

)，
∴

OA

=μ

AN

．
延長EF交直線MN與點(diǎn)P．
則

OA

ON

=

AE

PN

=

FC

PN

=

1

2

，
∴

OE

OP

=

AE

PN

=

1

4

=

OE

2OF

，
∴

OE

OF

=

1

2

．
∴λ=-

1

2

．
故答案為：-

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查了向量的平行四邊形法則、向量共線定理、平行線分線段成比例定理、平行四邊形的性質(zhì)，考查了作圖能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．