Question

已知0＜α＜

π

2

＜β＜π，tan

α

2

=

1

2

，cos（β-α）=

2

10

．
（1）求sinα的值；
（2）求β的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正切函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由二倍角的正切可得tanα=

2tan α 2

1-tan2 α 2

=

2× 1 2

1-( 1 2 )2

=

4

3

，再由

sinα cosα = 4 3 sin2α+cos2α=1

即可求得sinα的值；
（2）由（1）知cosα=

1-sin2α

=

3

5

，又0＜α＜

π

2

＜β＜π，β-α∈（0，π），而cos（β-α）=

2

10

，可求得sin（β-α）的值，利用兩角和的正弦sinβ=sin[α+（β-α）]即可求得答案．

解答： 解：（1）∵tan

α

2

=

1

2

，∴tanα=

2tan α 2

1-tan2 α 2

=

2× 1 2

1-( 1 2 )2

=

4

3

，
由

sinα cosα = 4 3 sin2α+cos2α=1

解得sinα=

4

5

（sinα=-

4

5

舍去）；
（2）由（1）知cosα=

1-sin2α

=

3

5

，又0＜α＜

π

2

＜β＜π，∴β-α∈（0，π），
而cos（β-α）=

2

10

，
∴sin（β-α）=

1-cos2(β-α)

=

1-( 2 10 )2

 =

7 2

10

，
于是sinβ=sin[α+（β-α）]=sinαcos（β-α）+cosαsin（β-α）=

4

5

×

2

10

+

3

5

×

7 2

10

=

2

2

．
又β∈（

π

2

，π），∴β=

3π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的正切函數(shù)，考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系式的應(yīng)用，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．