對于拋物線y2=2px(p＞0),F為其焦點,過點F的直線l與拋物線交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點.

(1)求弦AB的長(用x1、x2、p表示);

(2)當AB⊥x軸時,求AB的長;

(3)判斷以AB為直徑的圓與拋物線的準線l的位置關系.

解析:(1)由定義知,|AF|、|BF|分別等于點A、B到準線x=-的距離,

∴|AF|=x1+,|BF|=x2+,則|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.

(2)當AB⊥x軸時,其方程為x=p,代入y2=2px,得y1=p,y2=-p,∴|AB|=2p,又稱為拋物線的通徑.

(3)如下圖,設AB中點為M,分別過點A、B、M作準線的垂線,垂足為A1、B1、N,

∵|MN|=(|A1A|+|B1B|)=(|AF|+|BF|)=|AB|,∴以AB為直徑的圓與拋物線的準線l相切.


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知動點M到定點F（1，0）的距離比M到定直線x=-2的距離小1．
（1）求證：M點的軌跡是拋物線，并求出其方程；
（2）我們知道：“過圓上任意一點P，任意作互相垂直的弦PA、PB，則弦AB必過圓心”（定點）．受此啟發(fā)，研究下面問題：
對于拋物線y2=2px（p＞0）上某一定點P（非頂點），過P任意作互相垂直的弦PA、PB，弦AB是否經(jīng)過定點？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•松江區(qū)二模）已知雙曲線C的中心在原點，D（1，0）是它的一個頂點，
d
=(1，
2
)是它的一條漸近線的一個方向向量．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過點（-3，0）任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點 （A，B都不同于點D），求證：
DA
•
DB
為定值；
（3）對于雙曲線Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E為它的右頂點，M，N為雙曲線Γ上的兩點（都不同于點E），且EM⊥EN，那么直線MN是否過定點？若是，請求出此定點的坐標；若不是，說明理由．然后在以下三個情形中選擇一個，寫出類似結論（不要求書寫求解或證明過程）．
情形一：雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左頂點；
情形二：拋物線y2=2px（p＞0）及它的頂點；
情形三：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)及它的頂點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于拋物線y2=2px(p>0),F為其焦點,過點F的直線l與拋物線交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點.

(1)求弦AB的長(用x1、x2、p表示);

(2)當AB⊥x軸時,求AB的長;

(3)判斷以AB為直徑的圓與拋物線的準線l的位置關系.

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年江蘇省蘇州市高二（上）期末數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知動點M到定點F（1，0）的距離比M到定直線x=-2的距離小1．
（1）求證：M點的軌跡是拋物線，并求出其方程；
（2）我們知道：“過圓上任意一點P，任意作互相垂直的弦PA、PB，則弦AB必過圓心”（定點）．受此啟發(fā)，研究下面問題：
對于拋物線y2=2px（p＞0）上某一定點P（非頂點），過P任意作互相垂直的弦PA、PB，弦AB是否經(jīng)過定點？

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