對(duì)于拋物線y2=2px(p>0),F為其焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn).

(1)求弦AB的長(zhǎng)(用x1、x2、p表示);

(2)當(dāng)AB⊥x軸時(shí),求AB的長(zhǎng);

(3)判斷以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線l的位置關(guān)系.

1、|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.

2、|AB|=2p,又稱為拋物線的通徑.

3、以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線l相切.


解析:

(1)由定義知,|AF|、|BF|分別等于點(diǎn)A、B到準(zhǔn)線x=-的距離,

∴|AF|=x1+,|BF|=x2+,則|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.

(2)當(dāng)AB⊥x軸時(shí),其方程為x=p,代入y2=2px,得y1=p,y2=-p,∴|AB|=2p,又稱為拋物線的通徑.

(3)如右圖,設(shè)AB中點(diǎn)為M,分別過(guò)點(diǎn)A、B、M作準(zhǔn)線的垂線,垂足為A1、B1、N,

∵|MN|=(|A1A|+|B1B|)=(|AF|+|BF|)=|AB|,∴以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線l相切.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)F（1，0）的距離比M到定直線x=-2的距離小1．
（1）求證：M點(diǎn)的軌跡是拋物線，并求出其方程；
（2）我們知道：“過(guò)圓上任意一點(diǎn)P，任意作互相垂直的弦PA、PB，則弦AB必過(guò)圓心”（定點(diǎn)）．受此啟發(fā)，研究下面問(wèn)題：
對(duì)于拋物線y2=2px（p＞0）上某一定點(diǎn)P（非頂點(diǎn)），過(guò)P任意作互相垂直的弦PA、PB，弦AB是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•松江區(qū)二模）已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，D（1，0）是它的一個(gè)頂點(diǎn)，
d
=(1，
2
)是它的一條漸近線的一個(gè)方向向量．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)（-3，0）任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn) （A，B都不同于點(diǎn)D），求證：
DA
•
DB
為定值；
（3）對(duì)于雙曲線Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E為它的右頂點(diǎn)，M，N為雙曲線Γ上的兩點(diǎn)（都不同于點(diǎn)E），且EM⊥EN，那么直線MN是否過(guò)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由．然后在以下三個(gè)情形中選擇一個(gè)，寫(xiě)出類(lèi)似結(jié)論（不要求書(shū)寫(xiě)求解或證明過(guò)程）．
情形一：雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左頂點(diǎn)；
情形二：拋物線y2=2px（p＞0）及它的頂點(diǎn)；
情形三：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)及它的頂點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于拋物線y2=2px(p＞0),F為其焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn).

(1)求弦AB的長(zhǎng)(用x1、x2、p表示);

(2)當(dāng)AB⊥x軸時(shí),求AB的長(zhǎng);

(3)判斷以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線l的位置關(guān)系.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年江蘇省蘇州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)F（1，0）的距離比M到定直線x=-2的距離小1．
（1）求證：M點(diǎn)的軌跡是拋物線，并求出其方程；
（2）我們知道：“過(guò)圓上任意一點(diǎn)P，任意作互相垂直的弦PA、PB，則弦AB必過(guò)圓心”（定點(diǎn)）．受此啟發(fā)，研究下面問(wèn)題：
對(duì)于拋物線y2=2px（p＞0）上某一定點(diǎn)P（非頂點(diǎn)），過(guò)P任意作互相垂直的弦PA、PB，弦AB是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？

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