Question

已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)(,0)，且與直線x=-相切，其中p＞0：

（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；

（2）設(shè)A、B是軌跡C上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，當(dāng)α、β變化且α+β為定值θ(0＜θ＜π＝時(shí)，證明直線AB恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

解：（1）設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x,y)，則,

∴y²=2px(p＞0).

（2）設(shè)A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂),由題意得x₁≠x₂（否則α+β=π）且x₁,x₂≠0，所以直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+b，顯然x₁=,x₂=，

將y=kx+b代入y²=2px去x得ky²-2py+2pb=0，

由韋達(dá)定理知，?

y₁+y₂=,y₁·y₂=.①

a.當(dāng)θ=時(shí)，?

即α+β=，tanα·tanβ=1，

∴=1,即x₁x₂-y₁y₂=0.

∴y₁y₂=4p².

由①式知=4p²,∴b=2pk.

因此，直線AB的方程可表示為y=kx+2pk，

即k(x+2p)-y=0,∴直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(-2p,0).

b.當(dāng)θ≠時(shí)，由α+β=θ得

tanθ=tan(α+β)=，

將①式代入上式整理化簡(jiǎn)，得tanθ=,∴b=+2pk，

此時(shí)，直線AB的方程可表示為

y=kx++2pk，即k(x+2p)-(y-)=0.

∴直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(-2p,).

根據(jù)a、b可知，當(dāng)θ=時(shí)，AB恒過(guò)定點(diǎn)(-2p,0)；

當(dāng)θ≠時(shí)，直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(-2p,).