Question

如圖所示，已知橢圓C：

x2

4

+y²=1，在橢圓C上任取不同兩點A，B，點A關(guān)于x軸的對稱點為A′，當(dāng)A，B變化時，如果直線AB經(jīng)過x軸上的定點T（1，0），則直線A′B經(jīng)過x軸上的定點為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出A，B的坐標(biāo)：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A′（x₁，-y₁），設(shè)出直線AB的方程，y=k（x-1）．聯(lián)立橢圓的方程并消去y得到關(guān)于x的方程，根據(jù)韋達(dá)定理即可求x₁+x₂，x₁x₂，根據(jù)A′，B的坐標(biāo)寫出直線A′B的方程，并令y=0，便得到直線A′B與x軸交點的橫坐標(biāo)x=

y2x1+y1x2

y1+y2

，用x₁，x₂表示y₁，y₂并帶入x即可求出x值，從而得到A′B經(jīng)過x軸上的定點．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A′（x₁，-y₁）；
由題意可知直線AB的斜率存在，設(shè)為k，直線方程為：y=k（x-1）；
聯(lián)立

y=k(x-1) x2 4 +y2=1

，消去y得，(

1

4

+k2)x2-2k2x+k2-1=0；
∴x1+x2=

2k2

1 4 +k2

，x1x2=

k2-1

1 4 +k2

；
直線A′B的方程為：y+y1=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)；
∴令y=0，x=

y2x1+y1x2

y2+y1

；
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）；
∴y₂+y₁=k（x₁+x₂）-2k=

- k 2

1 4 +k2

；
y₂x₁+y₁x₂=k（x₂-1）x₁+k（x₁-1）x₂=

-2k

1 4 +k2

；
∴x=

-2k 1 4 +k2

- k 2 1 4 +k2

=4，即直線A′B經(jīng)過x軸上的定點為（4，0）．
故答案為：（4，0）．

點評：考查關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)的關(guān)系，直線與橢圓的位置關(guān)系，直線的點斜式方程，以及韋達(dá)定理，求直線與x軸交點的方法：令y=0．