Question

1．對(duì)于數(shù)列{a_n}，若前n項(xiàng)和S_n=2a_n-3n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知數(shù)列遞推式求出首項(xiàng)，得到當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-3（n-1），與原遞推式作差后可得數(shù)列{a_n}是以6為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，即可求得數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和S_n=2a_n-3n．①
∴當(dāng)n=1，a₁=2a₁-3，
∴a₁=3，
a₁+a₂=2a₂-3×2，a₂=9，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-3（n-1）．②
①-②得：a_n=2a_n-2a_n-1-3，
整理得：a_n=2a_n-1+3，即a_n+3=2（a_n-1+3），
∴$\frac{{a}_{n}+3}{{a}_{n-1}+3}$=2，
$\frac{{a}_{2}+3}{{a}_{1}+3}$=$\frac{9+3}{3+3}$=2，成立，
∴數(shù)列{a_n+3}是以6為首項(xiàng)以2為公比的等比數(shù)列，
a_n+3=6×2^n-1=3×2ⁿ，
∴a_n=3×2ⁿ-3，
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=3×2ⁿ-3；
（2）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，
=3×（2+2²+2³+…+2ⁿ）-3×n，
=3×2ⁿ⁺¹-3n-6，
S_n=3×2ⁿ⁺¹-3n-6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的求法，考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力，屬于中檔題．