Question

在△ABC中，AB=3，∠A=60°，∠A的平分線AD交BC于點(diǎn)D，

AD

=

1

3

AC

+λ

AB

（γ∈R），則|

AD

|=（　�。�

• A、1
• B、

  3

• C、3
• D、2

  3

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：取AC的一個(gè)三等分點(diǎn)E，滿足AE=

1

3

AC，作DF平行于AE，則由條件可得四邊形AEDF為平行四邊形，求得∠AFD=120°，∠FAD=30°，∠FDA=30°，可得△AFD為等腰三角形，AF=DF=

1

3

AC，故平行四邊形AEDF為菱形．利用余弦定理求得AD、BD、CD的值，再由三角形的內(nèi)角平分線性質(zhì)可得

AC

AB

=

CD

BD

，由此求得λ的值，從而得到AD的值．

解答： 解：△ABC中，∵AB=3，∠A=60°，∠A的平分線AD交邊BC于點(diǎn)D，且

AD

=

1

3

AC

+λ

AB

，
取AC的一個(gè)三等分點(diǎn)E，滿足AE=

1

3

AC，作DF平行于AE，則由條件可得四邊形AEDF為平行四邊形，
∴∠AFD=120°，∠FAD=30°，∠FDA=30°，故△AFD為等腰三角形，∴AF=DF=

1

3

AC，故四邊形AEDF為菱形．
再由AF=λAB=3λ=DF=

1

3

AC，可得 AC=9λ，菱形AEDF的邊長為3λ．
△AFD中，由余弦定理可得AD²=（3λ）²+（3λ）²-2•3λ•3λ•cos120°=27λ²，∴AD=3

3

λ．
△ABD中，由余弦定理可得 BD²=3²+27λ²-2×3×3

3

λ×cos30°=27λ²-27λ+9，∴BD=3

3λ2-3λ+1

．
△ACD中，由余弦定理可得 CD²=81λ²+27λ²-2×9λ×3

3

λ×cos30°=27λ²=3

3

λ．
再由三角形的內(nèi)角平分線性質(zhì)可得

AC

AB

=

CD

BD

，即

9λ

3

=

3 3 λ

3 3λ2-3λ+1

，解得 λ=

2

3

，或λ=

1

3

（舍去）．
故AD=3

3

λ=3

3

×

2

3

=2

3

，
故選D．

點(diǎn)評：本題主要考查兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，余弦定理以及三角形的內(nèi)角平分線性質(zhì)應(yīng)用，求得λ的值，是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)，屬于中檔題．