Question

19．對于△ABC，有如下四個命題：
①若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形；
②若sinB=cosA，則△ABC是直角三角形；
③若sin²A+sin²B＞sin²C，則△ABC是銳角三角形；
④若$\frac{a}{cosA}=\frac{cosB}=\frac{c}{cosC}$，則△ABC是等邊三角形．
其中正確的項有④．

Answer 1

分析 ①根據三角函數的倍角公式進行判斷．②根據三角形的圖象和性質進行判斷．③根據正弦定理去判斷．④根據正弦定理和三角函數的公式進行判斷．

解答 解：①在△ABC中，若sin2A=sin2B，則2A=2B或2A+2B=π，∴A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，則△ABC為等腰或直角三角形，∴①錯誤．
②若sinB=cosA，則sinB=cosA＞0．
即A是銳角，sinB=cosA=sin（$\frac{π}{2}$-A），
∴B=$\frac{π}{2}$-A或B+$\frac{π}{2}$-A=π，即A+B=$\frac{π}{2}$或B-A=$\frac{π}{2}$，則△ABC不一定為直角三角形，∴②錯誤．
③若sin²A+sin²B＞sin²C，則根據正弦定理得a²+b²＞c²，∴C為銳角，∴△ABC不一定是銳角三角形，∴③錯誤．
④若$\frac{a}{cosA}=\frac{cosB}=\frac{c}{cosC}$，則由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，可得：$\frac{sinA}{cosA}=\frac{sinB}{cosB}=\frac{sinC}{cosC}$，即：tanA=tanB=tanC，由于，A+B+C=π，可得：A=B=C，可得△ABC為等邊三角形，
故正確的是④．僅有一個
故答案為：④．

點評 本題主要考查正弦定理和三角公式的應用，要求熟練掌握三角函數的運算公式，考查學生的運算能力．