Question

11．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），直線l過不同的兩點(diǎn)（a，0），（$\frac{a+b}{2}$，$\frac{{ab-{b^2}}}{2a}$），若坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的距離為$\frac{{\sqrt{3}c}}{4}$，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• D． 2或$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 求出直線的斜率，原點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化求解雙曲線的離心率即可．

解答 解：因?yàn)?{k_l}=\frac{{\frac{{ab-{b^2}}}{2a}}}{{\frac{a+b}{2}-a}}=-\frac{a}$，所以l的方程bx+ay-ab=0原點(diǎn)到直線距離$d=\frac{ab}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}c$，
整理得：$\sqrt{3}{b^2}+\sqrt{3}{a^2}-4ab=0$，
即$\sqrt{3}{（\frac{a}）^2}-4（\frac{a}）+\sqrt{3}=0$
所以$\frac{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}或$或$\frac{a}=\sqrt{3}或$
因a＞b＞0 故$\frac{a}=\sqrt{3}或$（舍去）
所以$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．