已知為橢圓的左右焦點(diǎn),點(diǎn)為其上一點(diǎn),且有
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),過(guò)平行的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),求四邊形的面積的最大值.

(1);(2).

解析試題分析:(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,先利用橢圓定義得到的值并求出的值,然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程求出的值,最終求出橢圓的方程;(2)根據(jù)平行四邊形的幾何性質(zhì)得到,即先求出的面積的最大值,先設(shè)直線的方程為,且、,將此直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理將的面積表示成只含的表達(dá)式,并利用換元法將代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn),最后利用基本不等式并結(jié)合雙勾函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求出面積的最大值,從而確定平行四邊形面積的最大值.
(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,
由已知,,
又點(diǎn)在橢圓上, ,
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(2)由題意可知,四邊形為平行四邊形 ,
設(shè)直線的方程為,且、,
,
,,
,

,則,,
上單調(diào)遞增,
,的最大值為
所以的最大值為.
考點(diǎn):1.橢圓的定義與方程;2.直線與橢圓的位置關(guān)系;3.韋達(dá)定理;4.基本不等式

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn),且恰好與直線相切,設(shè)點(diǎn)A為圓上一動(dòng)點(diǎn),軸于點(diǎn),且動(dòng)點(diǎn)滿足,設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線
(1)求曲線C的方程,
(2)直線l與直線l,垂直且與曲線C交于B、D兩點(diǎn),求△OBD面積的最大值.

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已知橢圓C:的離心率為,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),以弦為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),試探討點(diǎn)到直線的距離是否為定值?若是,求出這個(gè)定值;若不是,說(shuō)明理由.

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如圖,已知橢圓,直線的方程為,過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于異于左頂點(diǎn)兩點(diǎn),直線,交直線分別于點(diǎn)
(1)當(dāng)時(shí),求此時(shí)直線的方程;
(2)試問(wèn)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

設(shè)橢圓C1=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為為,恰是拋物線C2的焦點(diǎn),點(diǎn)M為C1與C2在第一象限的交點(diǎn),且|MF2|=
(1)求C1的方程;
(2)平面上的點(diǎn)N滿足,直線l∥MN,且與C1交于A,B兩點(diǎn),若,求直線l的方程.

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已知橢圓的離心率為,其短軸兩端點(diǎn)為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的兩個(gè)不同點(diǎn),直線軸分別交于點(diǎn).判斷以為直徑的圓是否過(guò)點(diǎn),并說(shuō)明理由.

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如圖,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,過(guò)準(zhǔn)線上一點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,直線交拋物線,兩點(diǎn).
(1)求拋物線的方程及的取值范圍;
(2)是否存在值,使點(diǎn)是線段的中點(diǎn)?若存在,求出值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線)與橢圓交于、兩點(diǎn),線段 的垂直平分線交軸于點(diǎn),當(dāng)變化時(shí),求面積的最大值.

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如圖,已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為,線段的長(zhǎng)為.

(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作直線與軌跡交于、兩點(diǎn),且點(diǎn)在線段的上方,
線段的垂直平分線為.
①求的面積的最大值;
②軌跡上是否存在除外的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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