Question

16．已知函數f（x）=xlnx-a（x-1）²-x+1，a∈R．
（1）當a=0時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若對任意x∈（1，+∞），f（x）＜0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=0時，化簡f（x）求出導數f'（x），求出切點坐標與斜率，然后求解曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．
（2）由題 f'（x）=lnx-2a（x-1），x∈（1，+∞）．令g（x）=f'（x），求出導函數．①當a≤0時，②當a＞0時，（i）若$\frac{1}{2a}≤1$．（ii）若$\frac{1}{2a}＞1$，分別求解函數的單調性與判斷求解即可．

解答 解：（1）當a=0時，f（x）=xlnx-x+1，則f（1）=0，f'（x）=lnx，∴f'（1）=0，∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=0．
（2）由題 f'（x）=lnx-2a（x-1），x∈（1，+∞）．
令g（x）=f'（x），則$g'（x）=\frac{1-2ax}{x}$．
①當a≤0時，在x＞1時，g'（1）＞0，從而g（x）＞g（1）=0，∴f（x）在（1，+∞）上單調遞增，
∴f（x）＞f（1）=0，不合題意．
②當a＞0時，令g'（x）=0，可解得$x=\frac{1}{2a}$．
（i）若$\frac{1}{2a}≤1$，即$a≥\frac{1}{2}$，在x＞1時，g'（x）＜0，∴g（x）＜g（1）＜0，
∴f（x）在（1，+∞）上為減函數，∴f（x）＜f（1）=0符合題意．
（ii）若$\frac{1}{2a}＞1$，即$0＜a＜\frac{1}{2}$，
當$x∈（{1，\frac{1}{2a}}）$時，g'（x）＞0，∴f（x）在$（{1，\frac{1}{2a}}）$時，g（x）＞g（1）=0，
∴f（x）在$（{1，\frac{1}{2a}}）$上單調遞增，從而$x∈（{1，\frac{1}{2a}}）$時，f（x）＞f（1）＞0不合題意．
綜上所述，若f（x）＜0對x∈（1，+∞）恒成立，則$a≥\frac{1}{2}$．

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的單調性以及函數的極值，考查轉化思想以及分類討論思想的應用，考查計算能力．