Question

10．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC為正三角形，側(cè)棱AA₁⊥面ABC，若AB=AA₁，則直線A₁B與AC所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{14}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{14}}{4}$

Answer 1

分析 由題意，底面ABC為正三角形，側(cè)棱AA₁⊥面ABC，通過補(bǔ)形將三棱柱ABC-A₁B₁C₁的轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體，找到直線A₁B與AC所成角平面角，利用余弦定理求解．

解答 解：底面ABC為正三角形，側(cè)棱AA₁⊥面ABC，過B，C點(diǎn)分別作AC，AB的平行線交于F，同理，作過B₁，C₁點(diǎn)分別作A₁B，A₁C₁的平行線交于E，連接EF，可得ABCF-A₁B₁C₁E為長(zhǎng)方體．底面是菱形．
∴AC∥BF，
故直線A₁B與AC所成角即為∠A₁BF（或補(bǔ)角）
∵底面ABC為正三角形，設(shè)AB═AC=AA₁=a，則A₁B=$\sqrt{2}a$，
AF=$\sqrt{3}a$，A₁F=$\sqrt{{A}_{1}{A}^{2}+A{F}^{2}}=2a$．
那么|cos∠A₁BF|=|$\frac{{A}_{1}{B}^{2}+B{F}^{2}-{{A}_{1}F}^{2}}{2{A}_{1}B•BF}$|=$\frac{\sqrt{2}}{4}$
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩條異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．