Question

已知雙曲線S的兩條漸近線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且與以點(diǎn)A(，0)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線S的一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)A，斜率為k．

(1)求雙曲線S的方程；

(2)當(dāng)k＝1時(shí)，在雙曲線S的上支上求點(diǎn)B，使其與直線l的距離為；

(3)當(dāng)0≤k＜1時(shí)，若雙曲線S的上支上有且只有一個(gè)點(diǎn)B到直線l的距離為，求斜率k的值及相應(yīng)的點(diǎn)B的坐標(biāo)．如圖．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由已知可得雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±x，(0，)．雙曲線S的方程為－＝1． 　　(2)設(shè)B(x，)是雙曲線S到直線l：y＝x－的距離為的點(diǎn)，由點(diǎn)到直線的距離公式有 　　＝． 　　解得x＝，∴縱坐標(biāo)為＝2，即y＝2，即B(，2)． 　　(3)當(dāng)0≤k＜1時(shí)，雙曲線S的上支在直線l的上方，所以B在直線l的上方，設(shè)直線與直線l：y＝k(x－)平行，兩線間的距離為，且直線在直線l的上方，雙曲線S的上支上有且只有一個(gè)點(diǎn)B到直線l的距離為，等價(jià)于直線與雙曲線S的上支有且只有一個(gè)公共點(diǎn)． 　　設(shè)的方程為y＝kx＋m，由l上的點(diǎn)A到的距離為， 　　可知＝． 　　解得m＝(±－k)． 　　因?yàn)橹本�在直線l的上方， 　　所以m＝(－k)． 　　由方程組消去y得 　　(k2－1)x2＋2mkx＋m2－2＝0． 　　因?yàn)閗2≠1，所以Δ＝4m2k2－4(k2－1)(m2－2)＝4(m2－2＋2k2)＝8k(3k－2)． 　　令Δ＝0，由0≤k＜1，解得k＝0或k＝． 　　當(dāng)k＝0時(shí)，m＝解得x＝0或y＝． 　　此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，)； 　　當(dāng)k＝時(shí)，m＝，解得x＝2，y＝． 　　此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，)．