Question

20．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD=$\frac{π}{3}$，AB=2，AD=1，若M、N分別是邊AD、CD上的點(diǎn)，且滿足$\frac{MD}{AD}$=$\frac{NC}{DC}$=λ，其中λ∈[0，1]，則$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{BM}$的取值范圍是（　�。�

• A． [-3，1]
• B． [-3，-1]
• C． [-1，1]
• D． [1，3]

Answer 1

分析 畫(huà)出圖形，建立直角坐標(biāo)系，求出B，A，D的坐標(biāo)，利用比例關(guān)系和向量的運(yùn)算求出$\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{BM}$的坐標(biāo)，然后通過(guò)二次函數(shù)的單調(diào)性，求出數(shù)量積的范圍．

解答 解：建立如圖所示的以A為原點(diǎn)，
AB，AD所在直線為x，y軸的直角坐標(biāo)系，
則B（2，0），A（0，0），D（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∵滿足$\frac{MD}{AD}$=$\frac{NC}{DC}$=λ，λ∈[0，1]，
$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DN}$=$\overrightarrow{AD}$+（1-λ）$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AD}$+（1-λ）$\overrightarrow{AB}$
=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）+（1-λ）（2，0）
=（$\frac{5}{2}$-2λ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AM}$=-$\overline{\;}$$\overrightarrow{AB}$+（1-λ）$\overrightarrow{AD}$
=（-2，0）+（1-λ）（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=（-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$λ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1-λ）），
則$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{BM}$=（$\frac{5}{2}$-2λ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）•（-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$λ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1-λ））
=（$\frac{5}{2}$-2λ）（-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$λ）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1-λ）
=λ²+λ-3=（λ+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{13}{4}$，
因?yàn)棣恕蔥0，1]，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為：λ=-$\frac{1}{2}$，
則[0，1]為增區(qū)間，
故當(dāng)λ∈[0，1]時(shí)，λ²+λ-3∈[-3，-1]．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的綜合應(yīng)用，平面向量的坐標(biāo)表示以及數(shù)量積的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．