Question

14．已知O為正△ABC內(nèi)的一點，且滿足$\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OB}+（1+λ）\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，若△OAB的面積與△OBC的面積的比值為3，則λ的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{5}{2}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 如圖D，E分別是對應(yīng)邊的中點，對所給的向量等式進行變形，根據(jù)變化后的條件得到$\overrightarrow{OE}$=-λ$\overrightarrow{OD}$，由于正三角形ABC，結(jié)合題目中的面積關(guān)系得到S_△COB=$\frac{1}{6}$S_△ABC，S_△COA=$\frac{1}{3}$S_△ABC，由面積之比，O分DE所成的比，從而得出λ的值．

解答 解：由于$\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OB}+（1+λ）\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，
變?yōu)?\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$+λ（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）=0．
如圖，D，E分別是對應(yīng)邊的中點，
由平行四邊形法則知$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OE}$，λ（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）=2λ$\overrightarrow{OD}$，
故$\overrightarrow{OE}$=-λ$\overrightarrow{OD}$，
在正三角形ABC中，
∵S_△COB=$\frac{1}{3}$S_△AOB=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{6}$S_△ABC，
S_△COA=S_△ACB-$\frac{1}{6}$S_△ABC-$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABC，
且三角形AOC與三角形COB的底邊相等，面積之比為2
得λ=2．
故選：C．

點評 本小題主要考查向量的加法與減法，及向量共線的幾何意義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．