分析 (Ⅰ)當(dāng)a=0時(shí),求導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù),即可求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)證明 f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x,分類討論,利用x≥0時(shí),f(x)≥-2,即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答 解:(Ⅰ) a=0時(shí),f(x)=ex-3-x,f′(x)=ex-1.…(1分)
當(dāng) x∈(-∞,0)時(shí),f′(x)<0;當(dāng) x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)>0.
故 f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.…(4分)
(Ⅱ) f′(x)=ex-1-2ax.
由(Ⅰ)a=0時(shí)f(x)≥-2知ex≥1+x,當(dāng)且僅當(dāng) x=0時(shí)等號(hào)成立,…(5分)
故 f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x,…(6分)
當(dāng) $a≤\frac{1}{2}$時(shí),1-2a≥0,f′(x)≥0(x≥0),f(x)在R上是增函數(shù),
又f(0)=-2,于是當(dāng) x≥0時(shí),f(x)≥-2.符合題意.…(8分)
當(dāng)$a>\frac{1}{2}$時(shí),由ex>1+x(x≠0)可得e-x>1-x( x≠0).
所以f′(x)<ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a),
故當(dāng) x∈(0,ln2a)時(shí),f′(x)<0,而 f(0)=-2,
于是當(dāng) x∈(0,ln2a)時(shí),f(x)<-2 …(11分)
綜合得 a的取值范圍為$(-∞,\frac{1}{2}]$.…(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
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A. | ①② | B. | ③④ | C. | ③ | D. | ①④ |
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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A. | $t=\frac{1}{2}$ | B. | t=1 | C. | t=2 | D. | t=3 |
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A. | $f({\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}})<\frac{{f({x_1})+f({x_2})}}{2}$ | B. | $f({\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}})>\frac{{f({x_1})+f({x_2})}}{2}$ | ||
C. | $f({\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}})=\frac{{f({x_1})+f({x_2})}}{2}$ | D. | 無(wú)法確定 |
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x | 2.5 | 2.53125 | 2.546875 | 2.5625 | 2.625 | 2.75 |
f(x) | 0.084 | 0.009 | 0.029 | 0.066 | 0.215 | 0.512 |
A. | 2.5 | B. | 2.53 | C. | 2.54 | D. | 2.5625 |
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