8.設(shè)函數(shù)f(x)=ex-3-x-ax2
(Ⅰ)當(dāng)a=0時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥-2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)當(dāng)a=0時(shí),求導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù),即可求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)證明 f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x,分類討論,利用x≥0時(shí),f(x)≥-2,即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解答 解:(Ⅰ) a=0時(shí),f(x)=ex-3-x,f′(x)=ex-1.…(1分)
當(dāng) x∈(-∞,0)時(shí),f′(x)<0;當(dāng) x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)>0.
故 f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.…(4分)
(Ⅱ) f′(x)=ex-1-2ax.
由(Ⅰ)a=0時(shí)f(x)≥-2知ex≥1+x,當(dāng)且僅當(dāng) x=0時(shí)等號(hào)成立,…(5分)
故 f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x,…(6分)
當(dāng) $a≤\frac{1}{2}$時(shí),1-2a≥0,f′(x)≥0(x≥0),f(x)在R上是增函數(shù),
又f(0)=-2,于是當(dāng) x≥0時(shí),f(x)≥-2.符合題意.…(8分)
當(dāng)$a>\frac{1}{2}$時(shí),由ex>1+x(x≠0)可得e-x>1-x( x≠0).
所以f′(x)<ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a),
故當(dāng) x∈(0,ln2a)時(shí),f′(x)<0,而 f(0)=-2,
于是當(dāng) x∈(0,ln2a)時(shí),f(x)<-2 …(11分)
綜合得 a的取值范圍為$(-∞,\frac{1}{2}]$.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

11.已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c,其對(duì)稱軸為y軸(其中b,c為常數(shù))
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)b的值;
(Ⅱ)記函數(shù)g(x)=f(x)-2,若函數(shù)g(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)c的取值范圍;
(Ⅲ)求證:不等式f(c2+1)>f(c)對(duì)任意c∈R成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

19.關(guān)于函數(shù)$f(x)=4sin(2x+\frac{π}{3})(x∈R)$有下列命題,其中正確的是( 。
①y=f(x)的表達(dá)式可改寫(xiě)為$y=4cos(2x-\frac{π}{6})$;
②y=f(x)是以2π為最小正周期的周期函數(shù);
③y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)$(-\frac{π}{6},0)$對(duì)稱;
④y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=$\frac{5π}{6}$對(duì)稱.
A.①②B.③④C.D.①④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

16.已知函數(shù)$f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x},x≥1\\ \frac{1}{x},0<x<1\\{2^x},x<0\end{array}\right.$,則f[f(-2)]=(  )
A.1B.2C.3D.4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

3.若函數(shù)f(x)=tlnx與函數(shù)g(x)=x2-1在點(diǎn)(1,0)處有共同的切線l,則t的值是( 。
A.$t=\frac{1}{2}$B.t=1C.t=2D.t=3

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13.冪函數(shù)$f(x)={x^{\frac{1}{5}}}$,若0<x1<x2,則$f({\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}})$,$\frac{{f({x_1})+f({x_2})}}{2}$大小關(guān)系是( 。
A.$f({\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}})<\frac{{f({x_1})+f({x_2})}}{2}$B.$f({\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}})>\frac{{f({x_1})+f({x_2})}}{2}$
C.$f({\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}})=\frac{{f({x_1})+f({x_2})}}{2}$D.無(wú)法確定

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

20.已知函數(shù)f(x)=lnx+2x-6有唯一的零點(diǎn)在區(qū)間(2,3)內(nèi),且在零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算,得到數(shù)據(jù)如表所示.那么當(dāng)精確度為0.02時(shí),方程lnx+2x-6=0的一個(gè)近似根為( 。
x2.52.531252.5468752.56252.6252.75
f(x)0.0840.0090.0290.0660.2150.512
A.2.5B.2.53C.2.54D.2.5625

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

17.已知集合A={x|x2-2x+3=0},B={x|ax-1=0}.
(1)若A∩B={-1},求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若A∩B=B,求實(shí)數(shù)a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

18.已知函數(shù)$f(x)=\sqrt{\frac{x+1}{x-2}}$的定義域是集合A,函數(shù)$g(x)=\frac{1}{{\sqrt{{x^2}-(2a+1)x+{a^2}+a}}}$的定義域是集合B.
(1)求A,B
(2)若A∪B=B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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同步練習(xí)冊(cè)答案