Question

19．請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)．它的上部是底面圓半徑為5m的圓錐，下部是底面圓半徑為5m的圓柱，且該倉(cāng)庫(kù)的總高度為5m．經(jīng)過(guò)預(yù)算，制造該倉(cāng)庫(kù)的圓錐側(cè)面、圓柱側(cè)面用料的單價(jià)分別為4百元/m²，1百元/m²，設(shè)圓錐母線(xiàn)與底面所成角為θ，且$θ∈（{0，\frac{π}{4}}）$．
（1）設(shè)該倉(cāng)庫(kù)的側(cè)面總造價(jià)為y，寫(xiě)出y關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）問(wèn)θ為多少時(shí)，該倉(cāng)庫(kù)的側(cè)面總造價(jià)（單位：百元）最少？并求出此時(shí)圓錐的高度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意圓錐側(cè)面S₁=$\frac{1}{2}$rl=$\frac{1}{2}$×$5×2π×\frac{5}{cosθ}$，圓柱側(cè)面S₂=2π×5×（5-5tanθ），側(cè)面總造價(jià)為y=4S₁+S₂．
（2）利用導(dǎo)函數(shù)求解y的單調(diào)性，利用單調(diào)性求最小值．即可求出此時(shí)圓錐的高度．

解答 解：（1）由題意$y=[{2π×5×5（1-tanθ）}]×1+[{\frac{1}{2}×2π×5×\frac{5}{cosθ}}]×4$
=$50π（{1+\frac{2-sinθ}{cosθ}}）$，$θ∈（{0，\frac{π}{4}}）$；
（2）由（1）可得y=$50π（{1+\frac{2-sinθ}{cosθ}}）$，$θ∈（{0，\frac{π}{4}}）$；
那么：$y'=50π（{\frac{2sinθ-1}{{co{s^2}θ}}}）$
令$y'=50π（{\frac{2sinθ-1}{{co{s^2}θ}}}）=0$
解得：$sinθ=\frac{1}{2}$，
∵$θ∈（{0，\frac{π}{4}}）$，
∴$θ=\frac{π}{6}$，
列表：

θ	$（{0，\frac{π}{6}}）$	$\frac{π}{6}$	（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）
y'	-	0	+
y	↘	極小值	↗

所以當(dāng)$θ=\frac{π}{6}$時(shí)，側(cè)面總造價(jià)y最小，此時(shí)圓錐的高度為$\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了實(shí)際問(wèn)題的處理能力和圓錐圓柱側(cè)面積的計(jì)算．利用導(dǎo)函數(shù)求解最值的問(wèn)題．屬于中檔題．