【題目】如果一個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)都是自然數(shù)，則稱(chēng)為“自然多項(xiàng)式”.對(duì)正整數(shù)，用表示滿(mǎn)足的不同自然多項(xiàng)式的個(gè)數(shù).證明：.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

首先證明：對(duì)任何正整數(shù)，有. ①

事實(shí)上，對(duì)任何滿(mǎn)足的自然多項(xiàng)式，因為奇數(shù)，所以，的常數(shù)項(xiàng)為奇數(shù).令.則是自然多項(xiàng)式，且.

反之，對(duì)任何滿(mǎn)足的自然多項(xiàng)式，令.則是自然多項(xiàng)式，且.

所以，.

對(duì)任何滿(mǎn)足的自然多項(xiàng)式，若，令，則是自然多項(xiàng)式，且，這樣的多項(xiàng)式有個(gè)；若

，令，則是自然多項(xiàng)式，且，故，這樣的多項(xiàng)式有個(gè).

所以，.

式①成立.

其次證明：對(duì)任何正整數(shù)，有. ②

由式①可知，不減，且對(duì)，有

.

特別地，令，有.

故.

式②的右邊獲證.

取整數(shù)，使.

則.

取自然數(shù)組（），使，這樣的數(shù)組（）有個(gè).

對(duì)每個(gè)這樣的數(shù)組，再取，其中，，令，則，且，有.

從而，是自然多項(xiàng)式.因此，.

故式②的左邊獲證.

由式②有.

令，得.

對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè).則，.

又由不減可知，.

則.

令，，得.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖，四棱錐中，四邊形為菱形，，，平面平面.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

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【題目】已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的右焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為.

（1）求雙曲線的方程；

（2）若直線與雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和，且(其中為坐標(biāo)原點(diǎn))，求實(shí)數(shù)取值范圍.

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【題目】給出下列五個(gè)命題：

①若為真命題，則為真命題；

②命題“，有”的否定為“，有”；

③“平面向量與的夾角為鈍角”的充分不必要條件是“”；

④在銳角三角形中，必有；

⑤為等差數(shù)列，若，則

其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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【題目】已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)是，點(diǎn)在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)是，且．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．若，且，求直線的方程．

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【題目】在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AC，平面BB1C1C⊥底面ABCD，點(diǎn)M、F分別是線段AA1、BC的中點(diǎn)．

（1）求證：AF⊥DD1；

（2）求證：AF∥平面MBC1．

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【題目】在數(shù)列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數(shù)列，bn，an＋1，bn＋1成等比數(shù)列{n∈N＋}．

求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測(cè){an}，{bn}的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；

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（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成二面角的正弦值；

（Ⅲ）若點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng).

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【題目】為了解人們對(duì)于國(guó)家新頒布的“生育二胎放開(kāi)”政策的熱度，現(xiàn)在某市進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了人，他們年齡的頻數(shù)分布及支持“生育二胎”人數(shù)如下表：

年齡

[5,15)

[15,25)

[25,35)

[35,45)

[45,55)

[55,65)

頻數(shù)

5

10

15

10

5

5

支持“生

育二胎”

4

5

12

8

2

1

（1）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面2乘2列聯(lián)表，并問(wèn)是否有99的把握認(rèn)為以45歲為分界點(diǎn)對(duì)“生育二胎放開(kāi)”政策的支持度有差異：

年齡不低于45歲的人數(shù)

年齡低于45歲的人數(shù)

合計(jì)

支持

a=

c=

不支持

b=

d=

合計(jì)

（2）若對(duì)年齡在的被調(diào)查人中隨機(jī)選取兩人進(jìn)行調(diào)查，恰好這兩人都支持“生育二胎放開(kāi)”的概率是多少？

參考數(shù)據(jù)：P

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